Las matrices similares tienen los mismos valores propios con la misma multiplicidad geométrica

Question

Supongamos que $A$ y $B$ son matrices similares. Demuestre que $A$ y $B$ tienen los mismos valores propios con las mismas multiplicidades geométricas.

Matrices similares : Supongamos que $A$ y $B$ son $n\times n$ matrices sobre $\mathbb R$ o $\mathbb C$ . Nosotros decimos $A$ y $B$ son similares, o que $A$ es similar a $B$ si existe una matriz $P$ tal que $B = P^{-1}AP$ .

Answer 1

$B = P^{-1}AP \ \Longleftrightarrow \ PBP^{-1} = A$ . Si $Av = \lambda v$ entonces $PBP^{-1}v = \lambda v \ \Longrightarrow \ BP^{-1}v = \lambda P^{-1}v$ . entonces, si $v$ es un vector propio de $A$ con valor propio $\lambda$ entonces $P^{-1}v$ es un vector propio de $B$ con el mismo valor propio. Por lo tanto, cada valor propio de $A$ es un valor propio de $B$ y como se pueden intercambiar los roles de $A$ y $B$ en los cálculos anteriores, cada valor propio de $B$ es un valor propio de $A$ también. Por lo tanto, $A$ y $B$ tienen los mismos valores propios.

Geométricamente, de hecho, también $v$ y $P^{-1}v$ son el mismo vector, escrito en diferentes sistemas de coordenadas. Geométricamente, de hecho, también $A$ y $B$ son matrices asociadas al mismo endomorfismo. Por tanto, tienen los mismos valores propios, vectores propios y multiplicidades geométricas.

Answer 2

Las matrices $A$ y $B$ describen la misma transformación lineal $L$ de algún espacio vectorial $V$ con respecto a diferentes bases. Para cualquier $\lambda\in{\mathbb C}$ el conjunto $E_\lambda:=\lbrace x\in V\ |\ Lx=\lambda x\rbrace$ es un subespacio bien definido de $V$ y por lo tanto tiene una dimensión clara ${\rm dim}(E_\lambda)\geq0$ que es independiente de cualquier base que uno pueda elegir para $V$ . Por supuesto, para la mayoría $\lambda\in{\mathbb C}$ esta dimensión es $0$ , lo que significa que $E_\lambda=\{{\bf 0}\}$ . Si $\lambda$ es en realidad un valor propio de $L$ entonces ${\rm dim}(E_\lambda)$ se llama multiplicidad (geométrica) de este valor propio.

Así que en realidad no hay nada que probar.

Answer 3

pista

$$ \det (P^{-1}P - P^{-1}A P) = \det( P^{-1}(I - A)P ) = \det P^{-1} \cdot \det (I - A) \cdot \det P $$

Answer 4

Es básicamente algo así: Si $v_1,\dots,v_k$ es una base para el eigespacio de A correspondiente al valor propio $\lambda$ entonces $P^{-1}v_1,\dots,P^{-1}v_k$ es una base para el eigespacio de B correspondiente al mismo valor propio. Hay algunos detalles que hay que completar, como demostrar que cualquier vector $w$ con $Bw=\lambda w$ puede escribirse como una combinación lineal de los $P^{-1}v_i$ utilizando que lo mismo vale para la matriz $A$ y los vectores $v_i$ por suposición.

Answer 5

Will te tiene más o menos ahí. Con esa lógica, verás que $A$ y $B$ comparten una ecuación característica común y, por tanto, A y B tienen idénticos valores propios con idénticas algebraico multiplicidades.
Ahora bien, ¿cómo podrías utilizar el hecho de que $A$ y $B$ son similares para demostrar que cada valor propio tiene la misma multiplicidad geométrica? Una forma es utilizar de nuevo el truco de Will: $B=PAP^{-1}$ implica que $B-I=PAP^{-1}-PIP^{-1}$ y así $B-I=P(A-\lambda I)P^{-1}$ . Como P es invertible, esto demuestra que la dimensión del espacio nulo de $B-\lambda_0 I$ (que corresponde a la dimensión del eigespacio) es igual a la dimensión de $A-\lambda_0 I$ . Así, $A$ y $B$ compartirán un conjunto común de valores propios y un conjunto común de multiplicidades correspondientes.