Derivada covariante del campo de Killing invariante bajo flujo

Question

Dejemos que $X$ y $Y$ sean campos de Killing en una variedad riemanniana, con $[X,Y]=0$ . Es entonces la derivada covariante total $\nabla Y$ invariante bajo el flujo de $X$ ? Si es así, ¿cómo lo demuestran? He visto un documento en el que piense en utilizan este resultado, y yo mismo he tratado de probarlo. Principalmente, me he limitado a escribir la expresión de la derivada de Lie $\mathcal{L}_X(\nabla Y)$ (para demostrar que es cero): para cualquier campo vectorial $Z$ tenemos

$$(\mathcal{L}_X(\nabla Y))(Z)=[X,\nabla_Z Y]-\nabla_{[X,Z]}Y.$$

Sin embargo, no he tenido éxito, porque no tengo ni idea de hacia dónde ir. ¿Alguna idea?

Answer 1

No creo que ni siquiera necesites $Y$ de estar matando aquí. Escribe $$\mathcal{L}_X(\nabla Y) = (\mathcal{L}_X\nabla)Y + \nabla(\mathcal{L}_XY)$$ y observe que, dado que $X$ es Matar, entonces $\mathcal{L}_X\nabla = 0$ (el flujo de $X$ consiste en isometrías, que también preservan la conexión), mientras que su suposición adicional es sólo $\mathcal{L}_XY = [X,Y]=0$ .

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La derivada de la Mentira de la conexión es exactamente lo que piensas: $$(\mathcal{L}_X\nabla)_YZ = \mathcal{L}_X(\nabla_YZ) - \nabla_{\mathcal{L}_XY}Z - \nabla_Y(\mathcal{L}_XZ).$$