Decide si se pueden escribir como la diferencia de dos funciones monótonamente crecientes

Question

Decidir para las siguientes funciones $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ si pueden escribirse como la diferencia de dos funciones monótonamente crecientes:

a) $f(x)=sin(x)$

b) $f(x)= \left\{\begin{matrix} x^2sin(\frac{1}{x}) & if &x\neq 0 \\ 0 & if & x=0 \end{matrix}\right.$

Sólo necesito alguna pista para este ejercicio.

Answer 1

Una pista: Cortar $\mathbb{R}$ en dos partes: los intervalos en los que $\sin$ es monóticamente creciente y decreciente. Se quiere expresar $\sin$ como una suma de una función creciente y otra decreciente, por lo que será interesante añadir una contribución a la función creciente (resp. decreciente) sólo en los intervalos crecientes (resp. decrecientes).

Para (b), sólo hay que evitar el problema en $0$ partiendo de otro punto.

Answer 2

Una función de "variación limitada" significa que $sup \sum_{j=1}^{n} |f(x_j)-f(x_{j+1})|\leq M$ . Intuitivamente, significa que la función no pasa por encima o por debajo de alguna constante $M$ Si una función tiene una variación acotada en $[a,b]$ entonces se puede escribir como una diferencia de dos funciones monótonas positivas.

para a) tenemos claramente $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ con $f(x)=sin(x)$ es de variación acotada. Nótese que $sin(x)$ es de variación acotada en cualquier lugar de la recta real, por lo que, en particular, podemos elegir cualquier intervalo arbitrario $[a,b]$ . Existen, sólo que no veo un par de funciones monótonas obvias para mostrar un ejemplo.

para b) si consideramos $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ es posible. Podemos definir dos funciones monótonas y periódicas sobre $[a,b]$ con amplitud creciente, probablemente podamos encontrar una explícita con algo de trabajo.