El problema plantea: encontrar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función continua $y = f(x)$ en $x=3$ con la siguiente información.
$\lim_{x \to 3} {\dfrac{f(x)+7}{2x-6}}=8$ y $f(3) = -7$
Cómo se supone que se resuelve
$\lim_{x \to 3} {{\dfrac{1}{2}}\dfrac{f(x)+7}{x-3}}=8$ Sacar 1/2
${\dfrac{1}{2}}\lim_{x \to 3} {\dfrac{f(x)+7}{x-3}}=8$ Sacar 1/2 del límite
${\dfrac{1}{2}}\lim_{x \to 3} {\dfrac{f(x)-f(3)}{x-3}}=8$ Como sabemos $f(3)=-7$ , introdúzcalo
${\dfrac{1}{2}}f'(3)=8$ Por definición de límite, el cambio $\lim_{x \to 3} {\dfrac{f(x)-f(3)}{x-3}}$ a $f'(3)$
$f'(3)=16$
Por lo tanto, la línea tangente en $f(3)=-7$ est $y+7={16}(x-3)$
Cómo lo resolví
Como $\lim_{x \to 3} {\dfrac{f(x)+7}{2x-6}}=8$ y ésta es una función continua donde existe (como $f(x)$ es continua y $\dfrac{f(x)+7}{2x-6}$ es una función racional por lo que $\lim_{x \to a}{\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}}=f(a)$ )
Sé que la relación entre el numerador y el denominador de $ {\dfrac{f(x)+7}{2x-6}}$ se acerca a 8 como $\lim_{x \to 3}$ .
Por lo tanto, en $x=3$ (conocemos la función $f(x)$ existe en $f(3)$ como se indica en las instrucciones)
$8(f(x)+7)=2x-6$
$8(y+7)=2x-6$ Direcciones indicadas $f(x)=y$
$8y+56=2x-6$ Teniendo en cuenta los 8
$8dy=2dx$ Mediante la diferenciación implícita
$dy={\dfrac{1}{4}}dx$
${\dfrac{dy}{dx}}={\dfrac{1}{4}}$
Por lo tanto, la línea tangente en $f(3)=-7$ es
$y+7={\dfrac{1}{4}}(x-3)$
Preguntas
¿Podría alguien encontrar un ejemplo en el que la respuesta "correcta" o "mi respuesta" dé una respuesta correcta?
¿O tal vez explicar en qué me he equivocado?
¿O el problema en sí mismo es fundamentalmente defectuoso?
Gracias por la ayuda.
