Significado de la medida cero

Question

Mi libro describe medida cero como lo siguiente:

Un conjunto de puntos en el $x$ -Se dice que el eje tiene medida cero si la suma de las longitudes de los intervalos que encierran todos los puntos puede hacerse arbitrariamente pequeña. Si $f(x)$ está acotado en $[a,b]$ entonces una condición necesaria y suficiente para la existencia de $\int_a ^b f(x)dx$ es que el conjunto de discontinuidades tiene medida cero.

No entiendo muy bien lo que se dice aquí. ¿Cómo se puede hacer que la suma de las longitudes de los intervalos sea arbitrariamente pequeña? ¿No habría que juntar los puntos? La única forma en que veo que un conjunto de puntos no obedezca esto es si contiene una cantidad infinita de puntos. ¿Puede alguien aclarar el significado de "medida cero" y su relación con la integral?

Answer 1

La descripción del libro es un poco confusa. Supongamos que nos dan nuestra colección de puntos $S$ en la línea real. Lo que significa es que, para cualquier número $\epsilon>0$ podemos elegir una colección de intervalos $I_1=(a_1,b_1)$ , $I_2=(a_2,b_2)$ , $\ldots$ tal que $S$ está contenida en la unión $\bigcup_{k=1}^\infty I_k$ de todos los intervalos, y tal que la suma de las longitudes de todos los intervalos $$\sum_{k=1}^\infty m(I_k)=\sum_{k=1}^\infty (b_k-a_k),$$ es menor o igual que $\epsilon$ . Desde $\epsilon$ puede ser cualquier número que queramos, este es el sentido en el que la suma de las longitudes de los intervalos puede hacerse arbitrariamente pequeña.

El concepto de medida se basa en nuestra intuición de que podemos asignar algunos conjuntos a tener tamaños. Por supuesto, estos tamaños deben comportarse de forma razonable (si un conjunto $T$ está contenida en un conjunto $S$ entonces el tamaño de $T$ debe ser menor o igual que el tamaño de $S$ ; si $S$ y $T$ no tienen puntos en común, el tamaño de su unión debe ser la suma de sus tamaños individuales; etc.) La medida 0, en este contexto, implica una definición técnica del "tamaño" de algunos subconjuntos de la recta real, llamada Medida de Lebesgue . Existe una rama de las matemáticas llamada teoría de la medida donde se exploran los detalles de cómo pueden funcionar las diferentes funciones de "tamaño".

Answer 2

Creo que la mejor manera de responder a esto es dando un ejemplo. Si observamos el conjunto $X = \mathbb{Q} \cap [0,1]$ . Que es contable ya que es un subconjunto de $\mathbb{Q}$ que es contable (si no estás familiarizado con la palabra "contable", en realidad sólo significa que puedes hacer una lista con un primer elemento, un segundo elemento, .... un n'º elemento, etc, de tal manera que todos los elementos del conjunto están en esta lista, los números enteros y racionales son contables, pero los reales no lo son). Ahora bien, así $\mathbb{X}= \{q_i\}_{i}$ para los números racionales $q_i$ en este conjunto. Hemos dado una $\epsilon > 0 $ Dejamos que $I_1 = (q_1 - \epsilon/4 , q_1 + \epsilon/4)$ y que $I_n = (q_n - \epsilon/(2^{n+1}), q_n + \epsilon/(2^{n+1})) $ etc. Obsérvese que $\cup_{n} I_n$ contiene $X$  y esto es lo que el autor quiere decir con "intervalos que encierran todos los puntos". Obsérvese también que la longitud del n'º intervalo $I_n$ es $\epsilon/(2^n)$ por lo que la suma de todos estos intervalos viene dada por $\sum_{n = 1}^{\infty} \epsilon/(2^n) = \epsilon$  y como $\epsilon $ era arbitraria se deduce que la suma de la longitud de los intervalos que encierran todos los puntos de $X$ puede hacerse arbitrariamente pequeño. Para ver qué tiene que ver esto con la existencia de la integral les remito al apéndice 7.9 de estas notas http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/libro-fa/fa.pdf . Es posible que tengas que leer algunas de las secciones anteriores del capítulo 7 para entenderlo, y no debes sentirte mal si no lo entiendes todo, ya que en mi opinión está escrito de forma bastante descuidada.

Añadido: Intentaré dar una explicación intuitiva de lo que esto tiene que ver con la integral. Sabemos que la integral $\int_{a}^{b}f(x) \; dx $ existe si la función es continua. Es decir, las integrales de Riemann superior e inferior se aproximan al mismo límite finito. Ahora bien, ¿qué pasa si, por ejemplo, cambiamos el valor de f en un número finito de puntos, digamos $a_1, \ldots a_n \in [a,b]$ y hacer que la función sea discontinua en estos puntos, pero que permanezca igual en todos los demás puntos. ¿Podría esto hacer que la integral de Riemann inferior fuera diferente de la superior? La respuesta es no. Esto se debe básicamente a que la integral de Riemann inferior viene dada por $sup_{P} \ ;L(P,f)$ donde $L(P,f) = \sum_{j=1}^{n} m_j (x_j-x_{j-1})$ y P es una partición del intervalo de la forma $\{a=x_0, x_1, \ldots x_n = b\}$ y $m_j = inf ; f(x), \; x\in [x_{j-1},x_j]$ . Ahora esta suma no va a cambiar cuando cambiemos $f$ en un número finito de puntos, ya que esta suma se incrementa (o permanece igual) cada vez que aumentamos el número de puntos en la partición, por lo que podemos seguir añadiendo más y más puntos a las particiones y en cada discontinuidad $a_i$ el plazo de la suma $m_j (x_j - x_{j-1})$ donde $a_j \in [x_{j-1},x_j]$ se hace cada vez más pequeño y converge a cero, por lo que podemos ignorarlo, mientras que en todos los demás puntos todo es como antes, por lo que la integral inferior no cambiará, un argumento similar muestra que la suma superior no cambiará, por lo que obtenemos exactamente la misma integral que antes. Ahora este resultado se puede generalizar utilizando argumentos muy similares a los siguientes: Sea $X \subseteq [a,b]$ tienen medida cero. definimos $\bar{f}$ para tomar los mismos valores que $f$ en $[a,b] \setminus X$ pero $\bar{f}$ y $f$ toman diferentes valores en $X$ . Entonces el inegral $\int_{a}^{b} \bar{f} \; dx $ existe y es igual a $\int_{a}^{b} f(x) \; dx $ .

Espero que esto aclare lo que dice el autor y le permita seguir el resto del libro.

Answer 3

Su definición, tal y como está planteada, no es del todo completa. El problema tiene que ver con la forma de evaluar la suma de las longitudes de un número incontable de intervalos.

Más concretamente: dado un conjunto cualquiera $S \subset \mathbb R$ podemos expresarlo como la unión de los intervalos $\{[x,x] : x \in S\}$ cada una de las cuales tiene longitud 0. Por lo tanto, si permitimos que la suma de las longitudes de tantos ceros incontables sea cero, entonces obtenemos que todo subconjuntos de $\mathbb R$ tienen medida cero. Lo cual no es lo que queremos.

Así que hay que tener más cuidado: un conjunto $S \subset \mathbb R$ tiene medida cero si la suma de las longitudes de a contable La colección de intervalos que encierran los puntos puede hacerse arbitrariamente pequeña. Esto tiene sentido, porque la suma de un contable conjunto de números reales no negativos es $\infty$ o algún número real bien definido.

Cuando digo que la suma de una colección de intervalos puede hacerse arbitrariamente pequeña, quiero decir que si me das cualquier $\epsilon > 0$ entonces puedo mostrarte una colección contable de intervalos que encierran cada punto de $S$ cuya longitud total es $\le \epsilon$ .

Usando el argumento del segundo párrafo, esto nos da inmediatamente que cualquier subconjunto contable de $\mathbb R$ tiene medida cero. Pero también hay subconjuntos incontables de $\mathbb R$ con medida cero. El ejemplo canónico es el Conjunto Cantor .

Es un tema fascinante. Si no sabes lo que es un conjunto contable, estás de suerte: basta con que busques "Conjunto contable" en Wikipedia, y encontrarás todo un mundo nuevo que se abre ante ti.

Answer 4

Bien, un montón de cosas. Primero algo (llámalo $x$ ) siendo arbitrariamente pequeño significa que me da cualquier (positivo) $\epsilon$ por muy pequeño que sea, $x$ será menor que su $\epsilon$ .

En segundo lugar, el párrafo dice que la SUMA de la longitud de los intervalos que contienen los puntos puede hacerse arbitrariamente pequeña. No tiene que ser un intervalo ÚNICO. Si estuviéramos trabajando con un solo intervalo, entonces sí, los puntos tendrían que ser movidos juntos para hacer el intervalo arbitrariamente pequeño. Pero aquí permitimos varios intervalos si es necesario, así que podemos hacer cada uno de ellos arbitrariamente pequeño, lo que significa que su suma puede hacerse arbitrariamente pequeña.

He aquí un ejemplo fácil. Todo conjunto finito tiene medida cero. Consideremos el conjunto $\{0,1\}$ por ejemplo. Este conjunto tiene medida cero porque no importa cuán pequeño sea un $\epsilon$ que me des, puedo encontrarte dos pequeños intervalos (no superpuestos), uno que contenga cero y otro que contenga uno, donde la suma de la longitud de dos intervalos será menor que $\epsilon$ . Si me das $\epsilon=0.0001$ entonces te diré

$$[-0.00001,0.00001] \textrm{ and }[0.99999,1.00001].$$

Ambos intervalos tienen una longitud de 0,00002, por lo que su SUMA es de 0,00004, que es menos que $\epsilon=0.0001$ . Esto es fácil de ver para un número finito de puntos, pero resulta que incluso para algunos conjuntos infinitos, esto también es posible. Por ejemplo, si consideramos todas las fracciones unitarias $\{1,1/2,1/3,1/4,1/5,...\}$ entre cero y uno, entonces este conjunto también tiene medida cero. Puedo dar una lista de intervalos lo suficientemente pequeños alrededor de cada fracción como para que la suma de todas sus longitudes sea menor que su $\epsilon$ . En este caso tendremos un número infinito de intervalos pero la suma de sus longitudes será finita al igual que la suma infinita

$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...=2$$

puede tener un valor finito.

La medida aquí significa la medida de Lebesgue (hay otras) y la medida generaliza la "longitud" o el "tamaño" de un conjunto. Nos permite medir conjuntos que no podríamos hacer de otro modo. Todavía no podemos medir TODOS los conjuntos de la recta numérica real, pero podemos medir muchos más que antes. Así, que un conjunto tenga medida cero significa que el conjunto es de alguna manera "muy pequeño". No es demasiado grande. Si es demasiado grande, su medida será un número positivo.

La relación con la integral de Riemann es que si $f(x)$ no tiene "demasiadas" discontinuidades en su dominio de integración, entonces es integrable. El criterio exacto es que el conjunto de discontinuidades debe tener medida cero. Esta fue una gran pregunta durante un tiempo, que exactamente cuáles son las condiciones para que una función sea (Riemann) integrable. La integral es sólo el área (con signo) bajo la curva y claramente la función no necesita ser continua para ser integrable. Una discontinuidad está bien. Dos están bien. Tres están bien y de hecho cierto número infinito de discontinuidades (como en las fracciones unitarias) también están bien. Pero algunas funciones con "demasiadas" discontinuidades no son integrables. Entonces, ¿dónde se traza exactamente el límite? Lebesgue llegó y respondió a esta pregunta de forma brillante y desarrolló toda una nueva rama de las matemáticas llamada Teoría de la Medida que normalmente no se toca en detalle hasta las matemáticas de posgrado.

Answer 5

Se dice que un conjunto de puntos sobre el eje x tiene medida cero si la suma de las longitudes de los intervalos que lo encierran cada uno de los puntos pueden hacerse arbitrariamente pequeños. Si $f(x)$ está acotado en $[a,b]$ entonces una condición necesaria y suficiente para la existencia de $^b_a f(x)\,dx$ es que el conjunto de discontinuidades tiene medida cero.

La sustitución de "todos" por "cada uno de" es una gran aclaración.