Demostrar que $\lim_{n \to \infty} n \int_0^{\infty} f(x) g(nx) dx = 0$

Question

Dejemos que $f, g: (0,\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ sean funciones continuas no negativas que sean integrables impropias en $(0, \infty)$ y tal que $$ \lim_{x \to 0} f(x) = 0,\quad\text{and}\quad \lim_{x \to \infty} x g(x) = 0. $$ Demostrar que $$ \lim_{n \to \infty} n \int_0^{\infty} f(x) g(nx) dx = 0. $$

Mi intento: He encontrado una prueba de $\lim_{n \to \infty} n \int_1^{\infty} f(x) g(nx) dx = 0 $ .

Answer 1

Después de dejar $t=nx$ , $$n \int_0^{\infty} f(x) g(nx) dx= \int_0^{\sqrt{n}} f(t/n) g(t) dt+\int_{\sqrt{n}}^{n} f(t/n)g(t) dt +\int_{n}^{\infty} f(t/n)g(t) dt.$$

Dejemos que $\epsilon>0$ . Ahora estimamos los tres términos de la derecha.

1) Ya que $\lim_{x \to \infty} x g(x) = 0$ hay $N_1>0$ tal que para $n>N_1$ y $x\geq n$ tenemos $0\leq x g(x)\leq \epsilon$ y $$\int_{n}^{\infty} f(t/n) g(t) dt=\int_{n}^{\infty} \frac{f(t/n)}{t} tg(t) dt\leq \frac{\epsilon n}{n}\int_{n}^{\infty}f(t/n) d(t/n)\leq \epsilon\int_0^{\infty}f(x) dx.$$

2) Ya que $g$ es integrable en $(0,+\infty)$ hay $N_2>0$ tal que para $n>N_2$ tenemos $\int_{\sqrt{n}}^{+\infty} g(t) dt\leq \epsilon$ y $$\int_{\sqrt{n}}^{n} f(t/n) g(t) dt\leq \max_{x\in [0,1]}f(x)\int_{\sqrt{n}}^{+\infty} g(t) dt\leq \epsilon \max_{x\in [0,1]}f(x)$$

3) Ya que $\lim_{x \to 0} f(x) = 0$ hay $N_3>0$ tal que para $n>N_3$ y $0\leq x\leq 1/\sqrt{n}$ tenemos $0\leq f(x)\leq \epsilon$ . Por lo tanto, $$\int_0^{\sqrt{n}} f(t/n) g(t) dt\leq \epsilon \int_0^{\infty} g(t) dt.$$

Answer 2

Nota por corto $I= \int_0^{\infty} f(x) g(nx) dx$ . Tenemos

$$ n \int_0^{\infty} f(x) g(nx) dx=nI = \dfrac{x}{\frac{1}{\dfrac{nI}{x}}}$$

Tendiendo a $\infty$ tiene la forma $\dfrac{\infty}{\infty}$ por lo que podemos aplicar la regla de Hôspital y obtener la expresión (formal) $$\frac{1}{D}\space \text {where } D=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\dfrac{nI}{x}}\right)=\frac{-1}{D'}$$ donde $$D'=\frac{-nI}{x^2}+\frac{n}{x}\frac{d}{dx}(I)\to 0$$ Por lo tanto, el límite es igual a $0$ ( porque tiene la forma $\dfrac{-1}{\dfrac{1}{D'}}$ whit $D'\to 0$ ).