¿Cómo se encuentran las raíces de una ecuación que es una suma de ecuaciones cuadráticas?

Question

Así que las preguntas dicen -

Dejemos que $f(x), g(x)$ et $h(x)$ sean polinomios cuadráticos con coeficientes principales positivos y raíces reales y distintas. Si cada par de ellos tiene una raíz común, entonces encuentre las raíces de $f(x)+g(x)+h(x)=0$ .

Lo que hice

Déjalo,

$$f(x) = a_1 (x-\alpha) (x-\beta), \\ g(x) = a_2 (x-\beta)(x-\gamma), \\ h(x) = a_3 (x-\gamma) (x-\alpha), \\ F(x):=f(x)+g(x)+h(x)$$ Ahora,

$$F(\alpha) = a_2 (\alpha-\beta) (\alpha-\gamma) \\ F(\beta) = a_3 (\beta-\gamma) (\beta-\alpha) \\ F(\gamma) = a_1 (\gamma-\alpha) (\gamma-\beta)$$

No sé cómo seguir adelante. Me referí a la solución, sólo multiplica $F(\alpha), F(\beta) \text{, and } F(\gamma)$ y sale negativo. Y por lo tanto se concluye que las raíces de $F(x)=0$ son reales y distintos. ¿Puede alguien explicar por qué?

Gracias.

Answer 1

Supongamos, sin pérdida de generalidad, que $\alpha<\beta<\gamma$ : es fácil comprobar que $F(\alpha)>0$ , $F(\beta)<0$ et $F(\gamma)>0$ . Pero $F(x)$ es un polinomio cuadrático, por tanto una función continua: se deduce que $F(x)=0$ para algunos $x$ entre $\alpha$ et $\beta$ y también para algunos $x$ entre $\beta$ et $\gamma$ .