Sé por el análisis complejo que $\int_0^\infty \frac{\cos(x)}{\sqrt{x}}dx = \sqrt{\frac{\pi}{2}}$ Por lo tanto, la función es impropia de Riemann integrable, pero tengo problemas para demostrarlo sin utilizar el análisis complejo. Creo que la función no es integrable de Lebesgue, pero no estoy seguro de mi prueba. $\int_{(n-1)\pi}^{n\pi} \frac{|\cos(x)|}{\sqrt{x}}>\sqrt{\frac{1}{n\pi}}\int_{(n-1)\pi}^{n\pi}|\cos(x)|>2\sqrt{\frac{1}{n\pi}}$ Así que $\sum_{n=1}^\infty\int_{(n-1)\pi}^{n\pi} \frac{|\cos(x)|}{\sqrt{x}}$ no converge. ¿Parece correcto? ¿Cómo puedo demostrar que es un integrable de Riemann impropio? Muchas gracias.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Para demostrar que la integral $I=\int_0^\infty \frac{\cos(x)}{\sqrt{x}}\,dx$ existe como una integral de Riemann impropia, procedemos como sigue. Expresamos la integral de interés como la suma
$$\int_0^L \frac{\cos(x)}{\sqrt x}\,dx=\int_0^1 \frac{\cos(x)}{\sqrt x}\,dx+\int_1^L \frac{\cos(x)}{\sqrt x}\,dx\tag 1$$
La primera integral del lado derecho de $(1)$ es absolutamente integrable tal que $2\cos(1)\le \int_0^1 \frac{\cos(x)}{\sqrt x}\,dx\le 2$ .
Para la segunda integral del lado derecho de $(1)$ integramos por partes con $u=x^{-1/2}$ y $v=\sin(x)$ para revelar
$$\int_1^L \frac{\cos(x)}{\sqrt x}\,dx=\left(\frac{\sin(L)}{\sqrt L}-\sin(1)\right)+\frac12\int_1^L \frac{\sin(x)}{x^{3/2}}\,dx\tag 2$$
Dado que la segunda integral del lado derecho de $(2)$ converge absolutamente como $L\to \infty$ la integral del lado izquierdo converge (no converge absolutamente).
Juntando todo, hemos demostrado que la integral en $(1)$ converge y existe como una integral de Riemann impropia.
