Categoría de la teoría de la relación entre la Órbita Estabilizador y el Rango de Nulidad Teoremas

Question

En álgebra lineal, el Rango de-Nulidad teorema de los estados que, dado un espacio vectorial $V$ e una $n\times n$ matriz $A$, $$\text{rank}(A) + \text{null}(A) = n$$ o que $$\text{dim(image}(A)) + \text{dim(ker}(A)) = \text{dim}(V).$$

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En álgebra abstracta, la Órbita-Estabilizador teorema establece que dado un grupo de $G$ orden $n$, y un elemento $x$ del conjunto de $G$ actos, $$|\text{orb}(x)||\text{stab}(x)| = |G|.$$

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Aparte de la similitud visual de las expresiones, es que hay algo más profundo, tal vez la categoría de la teoría de la conexión entre estos dos teoremas? Hay, quizás, un functor de la categoría de grupos de $\text{Grp}$ a alguna categoría donde transformaciones lineales son morfismos? Estoy incluso el uso de las palabras functor y morfismos correctamente en este contexto?

Answer 1

Como se señaló en los comentarios por Clemente Guerin y Berci anteriormente, la Clasificación de Nulidad Teorema es más bien visto como una consecuencia inmediata del Primer Teorema de Isomorfismo, que dice que $\mathrm{Im}(A) \cong V / \mathrm{Ker}(A)$. Tomando las dimensiones de estos espacios le da la instrucción de las bases-Teorema de Nulidad, ya que el "rango" es la dimensión de la imagen de $A$, y la "nulidad" es la dimensión del núcleo, y la dimensión de $V / \mathrm{Ker}(A)$ es la diferencia en las dimensiones de $\dim(V) - \dim(\mathrm{Ker}(A))$.

Answer 2

La órbita-estabilizador de la fórmula se deriva del hecho de que, dada una acción de $G$$X$, el mapa

$$ G/G_x \ni gG_x \mapsto gx \in Gx $$

es un isomorfismo de $G$-establece entre el coset espacio de $G/G_x$ y la órbita $Gx$$x \in X$. Aquí $G$ actúa en $G/G_x$ a través de la izquierda la multiplicación.

La analogía más cercana es el caso de una $R$-módulo de $M$ donde $R/ann(m) \cong Rm$ cualquier $m \in M$.