¿Cómo puedo demostrar que para $2$ matrices de dimensión finita $A,B: [A,B] = i$ ¿es imposible?

Question

Me dijeron que para cualquier espacio de Hilbert de dimensión finita, $[A,B]=i$ es imposible, mientras que es posible para un espacio de Hilbert de dimensión infinita. ¿Cómo puedo demostrar que es imposible para una dimensión finita?

Editar: Me acabo de dar cuenta de que es trivial con la toma de rastros. Pero, ¿es posible mostrar sin tomar traza?

Answer 1

El rastro es la mejor manera, pero sólo por diversión:

Supongamos que $AB - BA = I$ y $v$ es un vector propio de $BA$ correspondiente al valor propio $\lambda$ . Entonces, $$ABv - BAv = v \implies ABv = (\lambda + 1)v \implies BABv = (\lambda + 1)Bv.$$ Si $\lambda \neq -1$ entonces tenemos $Bv \neq 0$ Por lo tanto $Bv$ es un vector propio de $BA$ correspondiente al valor propio $\lambda + 1$ . Por otro lado, si $\lambda = -1$ , entonces debemos tener $ABv = 0$ . Desde $v \neq 0$ Esto significa que $A$ o $B$ no es invertible, y por tanto tampoco lo es $BA$ , lo que significa que $\lambda + 1 = 0$ es un valor propio de $BA$ .

En cualquier caso, si $\lambda$ es un valor propio de $BA$ entonces también lo es $\lambda + 1$ . Por lo tanto, hay un número infinito de valores propios de $BA$ ¡!