¿Cómo funciona mi radio?

Question

Tengan paciencia conmigo un momento mientras invoco el mundo real; la cuestión principal al final es puramente matemática.

Vivo en una zona con $n$ Estaciones de radio AM y $m$ Emisoras de radio FM.

Número de estación AM $j$ quiere enviarme la señal $\phi_j(t)$ . Número de la emisora FM $k$ quiere enviarme la señal $\psi_k(t)$ .

Por supuesto, si sólo enviaran esas señales, mi radio recibiría su suma y no tendría idea de cómo desentrañarlas. Por lo tanto, las señales se codifican primero. Según tengo entendido (posiblemente mal informado), (además de un millón de campanas y silbatos), la emisora de AM $j$ envía la señal $\phi_j(t)\sin(\omega_j t)$ . donde $\omega_j$ es una constante, y la emisora FM $k$ envía la señal $A_k \sin(\psi_k(t))$ donde $A_k$ es una constante.

Mi radio recibe entonces la señal $$\sum_{j=1}^n\phi_j(t)\sin(\omega_j t)+\sum_{k=1}^mA_k\sin(\psi_k(t))\quad\quad(1)$$

Una vez recibida esta señal, y conociendo los valores de los $\omega_j$ y el $A_k$ mi radio es entonces capaz de calcular cualquiera de las señales $\phi_j(t)$ o $\psi_k(t)$ y tocarlo para mí a petición. (De hecho, estoy bastante seguro de que puede recuperar $\phi_j$ sobre la base de $\omega_j$ solo, sin conocer los valores de los otros $\omega$ 's.)

No me parece evidente que esto sea matemáticamente posible, aunque mi radio parece no tener problemas para hacerlo.

Pregunta 1 (Matemáticas puras). ¿Para qué valores de $\omega_1,\ldots,\omega_n,A_1,\ldots,A_m$ ¿es posible recuperar las funciones $\phi_1,\ldots,\phi_n,\psi_1,\ldots\psi_m$ ¿a partir sólo de la expresión (1)? ¿Y qué suposiciones se están haciendo sobre la clase de funciones permitidas a partir de las cuales el $\phi_j$ y $\psi_k$ ¿se dibujan?

Pregunta 2 (parte ingeniería, parte matemáticas puras). Si (como no es imposible), la AM y/o la FM funcionan de forma totalmente diferente a como yo creo que lo hacen, lo que hace que la pregunta 1 sea totalmente inmotivada, entonces cómo hacer AM y FM funcionan, ¿cuál es el análogo correcto de la expresión (1), y cuál es la respuesta correcta a la nueva versión correspondiente de la Pregunta 1?

Editado para añadir: Soy consciente de que hay todo tipo de problemas con las transmisiones distorsionadas, la corrección de errores, etc. Quiero abstraerme de todo esto y entender lo básico.

Answer 1

La modulación se utiliza para reducir la altura de la antena, la distorsión del ruido, para evitar interferencias...

La señal de baja frecuencia (por ejemplo, la voz humana) se superpone a una señal de alta frecuencia (la portadora) y se transmite. Cada emisora de radio tiene su propia frecuencia alta (frecuencia portadora) de transmisión.

Cuando sintonizas tu radio (eligiendo la frecuencia portadora de la emisora), también estás indicando la circuito electrónico para demodular (extraer información de la portadora) las señales AM o FM y recuperar la señal audible humana (de baja frecuencia).

Ver cualquier libro de B.P. Lathi (por ejemplo Sistema moderno de comunicación digital y analógica ) o de Oppenheim (por ejemplo Señales y sistemas ). Se trata de libros clásicos utilizados en los cursos de Ingeniería Eléctrica.

Según Lathi, el AM La señal puede demodularse de forma coherente (demodulación sincrónica) o no coherente (demodulación asincrónica). En la práctica, se utilizan dos métodos de demodulación no coherente: (1) la detección del rectificador y (2) la detección de la envolvente.

(1) Detector de rectificador: Si un AM señal se aplica a un circuito de diodos y resistencias, la parte negativa de la AM se suprimirá la onda. La salida rectificada, $v_r(t)$ es:

$$v_r(t) = [A+m(t)]\cos \omega_ct [1/2 + 2/\pi(\cos\omega_ct- 1/3 \cos3\omega_ct + \ldots)] = 1/\pi[A + m(t)] + hft$$

donde $hft$ son términos de alta frecuencia , $m(t) = B \cos\omega_mt$ es la información (señal de baja frecuencia), $\omega_m$ , la frecuencia de la información, $\omega_c$ la frecuencia de la portadora, $A$ y $B$ , amplitud de las señales portadora y de baja frecuencia, respectivamente.

Cuando $v_r(t)$ se aplica a un filtro de paso bajo de corte $B$ Hz, la salida es $[A +m(t)]/\pi$ y todos los demás términos de $v_r$ de frecuencias superiores a $B$ Hz se suprimen. El término de corriente continua $a/\pi$ puede ser bloqueado por un condensador para dar la salida deseada $m(t)/\pi$ .

(2) Detector de envolvente: la salida del detector sigue la envolvente de la señal modulada. El circuito es un diodo seguido de un filtro RC. Detalles matemáticos en Lathi .

La información (señal de baja frecuencia) en FM reside en la frecuencia instantánea $\omega_i = \omega_c + k_f m(t)$ , $k_f$ es un índice de modulación. Una red selectiva en frecuencia con una función de transferencia $$|H(\omega)| = a\omega + b$$ sobre el FM de la banda de frecuencias, se obtendría una salida proporcional a la frecuencia instantánea, $\omega_i$ . Hay varias redes posibles con estas características, la más sencilla es un diferenciador ideal con función de transferencia $j\omega$ . Los detalles matemáticos pueden verse en Lathi.

Hay un tutorial aquí o aquí .

Por cierto, esta es una hermosa aplicación (real) de la teoría de Fourier .

AÑADIDO :

En relación con su pregunta, si tenemos

$$\phi_{AM}(t) = A \cos\omega_ct + f(t)\cos\omega_ct$$ que representa la señal AM y $$\phi_{FM}(t) = A \cos\omega_ct - A k_f g(t)\sin\omega_ct$$ que representa la señal FM, entonces $$\phi_{AM}(t) \leftrightarrow \frac{1}{2}[F(\omega + \omega_c) + F(\omega - \omega_c)] + \pi A [\delta(\omega + \omega_c) + \delta(\omega - \omega_c)]$$ y $$\phi_{FM}(t) \leftrightarrow \pi A [\delta(\omega + \omega_c) + \delta(\omega - \omega_c)] + j\frac{Ak_f}{2}[G(\omega - \omega_c) - G(\omega + \omega_c)] $$

Considerando $$v(t) = \phi_{FM}(t) + \phi_{AM}(t)$$ tenemos la transformada de Fourier:

$$\frac{1}{2}[F(\omega + \omega_c) + F(\omega - \omega_c)] + 2 \pi A [\delta(\omega + \omega_c) + \delta(\omega - \omega_c)] + j\frac{Ak_f}{2}[G(\omega - \omega_c) - G(\omega + \omega_c)]$$

El siguiente paso es adaptar tu ecuación a estas ecuaciones. Entonces, los procedimientos (1) o (2) para recuperar la señal de baja frecuencia en el lado del receptor.

Answer 2

Es una cuestión de ingeniería: Creo que "diferentes bandas de frecuencia" significa que la transformada de Fourier de $\sin (\phi_k(t))$ es pequeño en algún intervalo que contenga el $\omega_j$ . Tenga en cuenta que no estoy en absoluto capacitado para hablar de la ingeniería aquí.

Tanto la ingeniería como las matemáticas: Creo que la radio recupera, aproximadamente, las funciones $\phi_j$ convolviendo la señal con $e^{(-\beta+\omega_j i)t}$ .

Matemáticas: No se puede recuperar la señal con exactitud sin fuertes suposiciones sobre la $\phi_j$ . Toma la señal $\sin(\omega_1 t )\sin(\omega_2 t)$ . Esto podría representar $\phi_1=\sin(\omega_2 t)$ , $\phi_2=0$ ou $\phi_1=0$ , $\phi_2=\sin(\omega_1 t)$ o cualquier combinación lineal.

Supongamos que el $\phi_i$ tienen transformadas de Fourier soportadas en el intervalo $[-\delta,\delta]$ y el $\omega_i$ están separadas por espacios de un tamaño mínimo $2\delta$ . Supongamos que no hay estaciones de FM. Entonces podemos recuperar cada estación de AM tomando la transformada de Fourier y poniendo todo fuera $[\omega_i -\delta,\omega_i+\delta]$ a $0$ .

No conozco la solución adecuada para la FM.

Answer 3

Me he formado como ingeniero, y puedo decirte que los ingenieros tienen una visión algo simplificada del asunto. (Pero, no sólo una visión simplificada, por supuesto). Las otras respuestas completan algunos detalles, pero creo que una visión de más alto nivel es útil.

No existe la recuperación perfecta de la señal transmitida. Lo mejor que se puede esperar es limitar el error.

Para la mayoría de las técnicas de modulación, la idea básica es que el espectro $X$ de una señal $x$ es casi 0 fuera de una banda estrecha: si $|f-f_0|\gt B$ entonces $X(f)\approx0$ . Tanto la AM como la FM son esencialmente medios de transformación de un espectro centrado en $0$ en uno centrado en $f_0$ . Por lo tanto, para recuperar una señal, la principal preocupación es asegurarse de que los espectros $X_1$ , $X_2$ , , $X_n$ no se superponen. Esto se consigue de una forma poco interesante: la regulación. Entonces se puede extraer una señal desplazando $f_0$ a $0$ (convolución con un impulso de Dirac en el dominio de la frecuencia, es decir, multiplicación con una señal armónica en el dominio del tiempo), y luego aplicar un filtro de paso bajo (multiplicación con un función rectangular en el dominio de la frecuencia, lo que significa la convolución con un sinc en el dominio del tiempo). Véase también esta pregunta relacionada .

Existen técnicas de modulación de amplio espectro, que se utilizan, por ejemplo, en las redes de telefonía móvil de cuarta generación, que hacen no se basan en la suposición de que la señal cubre una banda estrecha. Los dos principales son frecuencia esperando (utilizar alguna técnica de modulación de banda estrecha pero cambiar $f_0$ a menudo en alguna secuencia pseudoaleatoria) y espectro ensanchado (multiplicar la señal con una secuencia pseudoaleatoria antes de utilizar una técnica de modulación de banda estrecha). Las señales obtenidas mediante estos métodos tienen una banda ancha, pero están acotadas $|X(f)| < c$ para algunos $c$ para todos $f$ . De este modo, se comportan como ruido de fondo en lo que respecta a la demodulación de cualquier señal de banda estrecha.

Answer 4

Su expresión para las transmisiones de FM no es del todo correcta: ¡le falta la frecuencia de radio! El modelo simple que capta lo esencial de lo que es una emisora FM $k$ te está enviando es la función $$B_k\sin\left((\omega_k+\gamma_k\psi_k(t))t\right),$$ donde $\gamma_k\psi_k$ nunca se acerca a $\omega_k$ (de modo que sólo estás modulando la frecuencia y no la interrumpes por completo). Si la señal interesante $\psi_k$ es una nota pura a la frecuencia $\omega$ entonces el espectro de la señal de radio real se puede encontrar en términos de funciones de Bessel y consiste en bandas laterales separadas de la portadora por un espacio $\omega$ . (El número de bandas laterales está controlado por el tamaño de $\gamma_k$ es).

La verdadera señal de radio que recibe su dispositivo, entonces, es $$F(t)=\sum_{j=1}^n\phi_j(t)\sin(\omega_j t)+\sum_{k=1}^m B_k\sin\left((\omega_k+\gamma_k\psi_k(t))t\right).$$ Debido a la modulación, ninguna de las señales de radio de las emisoras tiene un solo pico, sino que están repartidas en un ancho de banda dado aproximadamente por el contenido de frecuencia de las señales de audio que codifican. (A modo de comparación, el oído humano puede detectar desde 16 Hz hasta aproximadamente 20.000 Hz, las frecuencias de AM son de radio de onda media entre 520 kHz y 1.610 kHz, y las emisoras de FM funcionan entre 87,5 y 108 MHz. Por tanto, en realidad los picos son bastante estrechos).

Para detectar una señal, su dispositivo utiliza una combinación de antenas, bucles de cable, placas paralelas y similares, que se las ingenian para dar al dispositivo decodificador (el que toma una señal de radio y le da una de audio) un voltaje $f$ que está controlado por una ecuación de oscilador armónico amortiguado de la forma $$\frac{d^2}{dt^2}f-2\gamma\frac{d}{dt}f+\omega_0^2f=F,$$ donde la frecuencia de resonancia $\omega_0$ se controla con un mando en el aparato. La respuesta espectral de este sistema dinámico se evalúa de forma rutinaria en los cursos universitarios de EDO, y se presenta como una curva lorentziana en forma de campana centrada en $\omega_0$ y de ancho $\gamma$ . Elija $\gamma$ para que coincida con la anchura espectral de la típica emisora de radio, ¡y tienes un filtro fantástico!

EDIT: Después de buscar un poco, encuentro que el $\psi_k$ no es exactamente la señal de audio que la emisora intenta codificar, sino algo así como su media en el intervalo $[0,t]$ por lo que equivale a ella hasta simples operaciones matemáticas realizadas en el decodificador.