¿Existe una formulación lagrangiana de la mecánica estadística?

Question

En mecánica estadística, solemos pensar en términos del formalismo hamiltoniano. En un momento determinado $t$ El sistema se encuentra en un estado particular, donde "estado" significa las coordenadas y momentos generalizados para un número potencialmente muy grande de partículas. (Para esta cuestión me interesan sobre todo los sistemas clásicos). Como este estado no puede conocerse con precisión, consideramos un conjunto de sistemas. Integrando cada punto de este conjunto hacia adelante en el tiempo (o, más a menudo, considerando lo que ocurriría si pudiéramos realizar dicha integral), deducimos resultados sobre el comportamiento macroscópico del conjunto. El uso del formalismo hamiltoniano es útil, en particular, porque nos da el concepto de volumen del espacio de fase, que se conserva bajo la evolución del tiempo para un sistema aislado.

Me parece que también podríamos considerar los conjuntos dentro del formalismo lagrangiano. En este caso tendríamos una distribución de probabilidad sobre los valores iniciales de las coordenadas (pero no sus velocidades), y otra distribución sobre los valores finales de las coordenadas (pero no sus velocidades). (En realidad, supongo que tendrían que ser dos variables aleatorias distribuidas conjuntamente, ya que podría haber fácilmente correlaciones entre ambas). Esto llevaría a una distribución de probabilidad sobre los caminos que el sistema toma para llegar de uno a otro. Nunca he visto mencionar este enfoque lagrangiano en la mecánica estadística. Tengo curiosidad por saber si la idea se ha llevado a cabo, y si conduce a algún resultado útil. En particular, me interesa saber si la idea del volumen del espacio de fase tiene algún significado directo en términos de tal conjunto lagrangiano.

Answer 1

La transición entre los formalismos hamiltoniano y lagrangiano en Mecánica puede realizarse mediante el Hamilton-Jacobi teoría.

Consideremos, por ejemplo, un conjunto estadístico clásico en un espacio de fases $(x,p)$ definido por:

A. El estado (inicial) de este conjunto está definido por una función de distribución $f(x_0,p_0)$ satisfaciendo la condición de normalización:

$$\displaystyle{\int f(x_0,p_0) dx_0dp_0 = 1}$$

( $(x_0,p_0)$ son las condiciones iniciales)

B. La evolución temporal se rige por la función hamiltoniana $H(x,p, t)$ .

Según la teoría de Hamilton-Jacobi, existe la función de fase de Hamilton-Jacobi $S(x_0, x_1, t_0, t_1)$ que satisface la ecuación de Hamilton-Jacobi:

$$\displaystyle{\frac{\partial S}{\partial t}+H\left(x_1,\frac{\partial S}{\partial x_1}, t\right) = 0}$$

(donde $(x_1,p_1)$ son las coordenadas y los momentos en el momento $t$ )

Los momentos pueden derivarse de la función de fase de Hamilton-Jacobi:

$$\displaystyle{p_i = \frac{\partial S}{\partial x_i}}$$

El problema de expresar el estado del sistema en términos de las coordenadas iniciales y finales se convierte en un problema de transformación de distribuciones de probabilidad. Podemos definir el estado del sistema en las coordenadas iniciales y finales como

$$\displaystyle{F_t(x_0, x_1) = f\left(x_0,\frac{\partial S}{\partial x_1}(x_0, x_1, t) \right)}$$

El jacobiano de la transformación viene dado por:

$$ \displaystyle{dx_0 dp_0 = \frac{\partial^2 S}{\partial x_0\partial x_1}}dx_0 dx_1 $$

Y la condición de normalización:

$$\displaystyle{\int F_t(x_0, x_1) \frac{\partial^2 S}{\partial x_0\partial x_1}(x_0, x_1, t)dx_0dx_1 = 1}$$

En el caso general, la distribución conjunta $F_t(x_0, x_1)$ no será separable

Answer 2

Existe una versión de la teoría de campos de la física estadística. La temperatura es como el tiempo imaginario. De esta manera podemos formular la teoría por integral de trayectoria con la acción determinada por el Lagrangiano.

Answer 3

No estoy seguro de si esto es lo que está haciendo (está relacionado con lo que dijo Xiao-Qi Sun), pero voy a intentarlo también ...

Al principio del capítulo V.2 de su QFT Nutshell Anthony Zee explica cómo la mecánica estadística clásica (caracterizada por la correspondiente función de partición que implica la función de Hamilton) en $d$ - El espacio dimensional está relacionado con la teoría de campo euclidiana (caracterizada por el correspondiente funcional generador o integral de trayectoria que involucra al lagrangiano).

Para ver esta relación, consideremos por ejemplo la integral de trayectoria minkowskiana de un campo escalar

$$ (1) \,\, \cal{Z} = \int\cal{D}\phi e^{(i/\hbar)\int d^dx[\frac{1}{2}(\partial\phi)^2-V(\phi)]} = \int\cal{D}\phi e^{(i/\hbar)\int d^dx\cal{L}(\phi)} = \int\cal{D}\phi e^{(i/\hbar)S(\phi)} $$

Tras la rotación de Wick, la densidad de Lagrange $\cal{L}(\phi)$ se convierte en la densidad de energía y la acción $S(\phi)$ se sustituye por el funcional energético $\cal E(\phi)$ del campo $\phi$

$$ (2) \,\, \cal{Z} = \int\cal{D}\phi e^{(-1/\hbar)\int d^d_Ex[\frac{1}{2}(\partial\phi)^2+V(\phi)]} = \int\cal{D}\phi e^{(-1/\hbar)\cal{E}(\phi)} $$

con

$$ \cal E(\phi) = \int d^d_Ex[\frac{1}{2}(\partial\phi)^2+V(\phi)] $$

Esto se puede comparar ahora con la mecánica estadística clásica de un sistema de N partículas con la Energía

$$ E(p,q) = \sum_i \frac{1}{2m}p_i^2+V(q_1,q_2,\cdots,q_N) $$

y la correspondiente función de partición

$$ Z = \prod_i\int dp_i dq_i e^{-\beta E(p,q)} $$

Integrando sobre los momentos $p_i$ se obtiene la función de partición reducida

$$ Z = \prod_i\int dq_i e^{-\beta V(q_1,q_2,\cdots,q_N)} $$

Siguiendo el procedimiento habitual para obtener la teoría de campo que corresponde a esta función de partición reducida dejando que $i\rightarrow x$ , $q_i \rightarrow \phi(x)$ e identificar $\hbar = 1/\beta = k_B T$ tiene exactamente la misma forma que la integral de trayectoria euclidiana (2).

Así que finalmente se puede ver que en este ejemplo, la función de partición (reducida) de un sistema de N partículas en el espacio d-dimensional corresponde a la integral de trayectoria de un campo escalar en el espacio-tiempo d-dimensional.

Estos argumentos se pueden generalizar para obtener una representación integral de trayectoria de la función de partición cuántica, diagramas de Feynman de temperatura finita, etc...

Si lo entiendo bien, esta línea de pensamiento que relaciona la mecánica estadística con la teoría de campos se aplica, por ejemplo, en temas como el Grupo de renormalización funcional sin equilibrio o en AdS/CFT para relacionar las funciones de correlación en el lado CFT con las amplitudes de las cuerdas en el lado AdS.

Answer 4

La formulación de Hamilton de la dinámica clásica da lugar a un teorema muy fuerte e importante en mecánica estadística que es el teorema de Liouville. Como probablemente ya sepas, afirma que la densidad de probabilidad $\rho(\mathbf{r}, \mathbf{p})$ para estar alrededor de un punto determinado $(\mathbf{r}, \mathbf{p})$ en el espacio de fase sigue la ecuación de evolución:

$\frac{\partial \rho}{\partial t} = \{\rho, H \}$ donde $\{ \cdot\}$ denota los corchetes de Poisson.

Esta ecuación es equivalente a las ecuaciones de evolución de Hamilton para $(\mathbf{r}, \mathbf{p})$ .

Ahora bien, cuando se observan las macrovariables, se puede resolver (creo que lo hizo primero Zwandsig) que la ecuación de Liouville (para las microvariables) da lugar a una ecuación de Fokker-Planck para estas macrovariables. Es en espíritu muy similar a la ecuación de Liouville, excepto que hay un componente estocástico en ella cuya característica más simple es añadir una segunda derivada espacial en el lado derecho de la ecuación de evolución.

Ahora bien, si sabes de matemáticas, también sabes que cualquier ecuación de Fokker-Planck puede asociarse a un conjunto de ecuaciones estocásticas para las macrovariables en estudio (una muy famosa es la ecuación de Langevin)... y volvemos a algo muy cercano a las ecuaciones de Hamilton pero para macrovariables.

En caso de que te preguntes si existe un principio de acción mínima para estas ecuaciones estocásticas, no lo sé. Creo que, en este sentido, son muy similares a la ecuación de Shrodinger. Sin embargo, lo que significa es que, efectivamente, los propagadores de las macrovariables pueden expresarse como integrales de trayectoria. El Medida de Wiener es un caso típico.

Obsérvese que mi respuesta se centra en la dinámica de Hamilton y Lagrangiana en el sentido clásico en el que se utilizaban para calcular trayectorias en el tiempo.

En la mecánica estadística clásica, se podría encontrar un enfoque lagrangiano similar a lo que se hace, por ejemplo, en la QFT. Este sería el enfoque Landau-Ginsburg de las transiciones de fase y los sistemas complejos en general.

Answer 5

No estoy seguro de que esto sea exactamente lo que buscas, ya que la mecánica estadística clásica en equilibrio no es, por definición, un sistema propiamente dinámico, sino que se trata de minimizar o maximizar la función $$S[p_i] = -k_{B}\sum_{i}{\ln{p(x)}} + Z\sum_i{\big(p(x)-1\big)}+\beta\sum_i{p_iE_i-\langle E\rangle}+\mu\sum_i{N_ip_i-\langle N\rangle}+...$$ no sólo recupera la distribución de Boltzmann, sino que naturalmente da lugar a la segunda ley de la termodinámica y proporciona una forma unificada de tratar cualquier tipo de conjunto. Como tal, esta S se describe ocasionalmente como la Acción para una distribución de equilibrio