¿Cómo demostrar la siguiente afirmación para funciones lineales acotadas?

Question

Dejar $e_i$ sea un vector con $1$ en el $i^{th}$ pl ace y $0$ en otro lugar para $i = 1, 2, \ldots$ . Entonces, ¿cómo demostrar que $\{f(e_i)\}$ converge para toda función lineal acotada en $l^2$ .

Comienzo con $$|f(e_m)-f(e_n)| = |f(e_m-e_n)| \leq \|f\| \|e_n-e_m\|$$ Utilizando $f$ acotado, obtenemos $$|f(e_m)-f(e_n)| \leq K \sqrt{2}$$ . Pero, ¿cómo demostrar la convergencia?

Answer 1

El espacio $l^2$ es un espacio de Hilbert, así que por el teorema de representación de Riesz $f(x)=<\xi,x>$ para algunos $\xi=(\xi_i)_{i\geq 1} \in l^2$ .

Por lo tanto, $f(e_i)= \xi_i$ Sin embargo, como $\xi\in l^2$ , $\xi_i\rightarrow 0$ como $i\rightarrow \infty$ . $\blacksquare$

Answer 2

Clark señaló una solución con el teorema de representación de Riesz.

He aquí una forma alternativa si aún no la conoces. Después de haber visto algunos ejemplos, podemos conjeturar razonablemente que $f\left(e_i\right)\to 0$ .

Supongamos que la secuencia $\left(f\left(e_i\right)\right)_{i\geqslant 1}$ no converge a cero. Entonces existe un $\varepsilon$ y una secuencia creciente $\left(i_l\right)_{i\geqslant 1}$ de enteros tal que $\left\lvert f\left(e_{i_l}\right)\right\rvert\gt\varepsilon$ para todos $l$ . Definir $$v_N:=\sum_{l=1}^Nc_l\operatorname{sgn}\left(f\left(e_{i_l}\right) \right) \cdot e_{i_l},$$ donde $\operatorname{sgn}(x)$ es igual a $1$ si $x$ es positivo, $-1$ si es negativo, y $c_l\gt 0$ se elegirá más tarde. Tenemos $$\left\lVert f\right\rVert\cdot \left\lVert v_N\right\rVert\geqslant f\left(v_N\right)\geqslant \varepsilon\sum_{l=1}^Nc_l $$ por lo que la elección de una secuencia $\left(c_l\right)_{l\geqslant 1}$ tal que $\sum_{l=1}^{+\infty}c_l=+\infty$ y $\sum_{l=1}^{+\infty}c_l^2\lt +\infty$ contradice la limitación de $f$ .