Caracterización de unidades en anillos polinómicos

Question

Estoy intentando demostrar un resultado, del que he obtenido una parte, pero no soy capaz de obtener la parte inversa.

Teorema. Dejemos que $R$ sea un anillo conmutativo con $1$ . Entonces $f(X)=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2} + \cdots + a_{n}X^{n}$ es una unidad en $R[X]$ si y sólo si $a_{0}$ es una unidad en $R$ y $a_{1},a_{2},\dots,a_{n}$ son todos nilpotente en $R$ .

Prueba. Supongamos que $f(X)=a_{0}+a_{1}X+\cdots +a_{n}X^{n}$ es tal que $a_{0}$ es una unidad en $R$ y $a_{1},a_{2}, \dots,a_{r}$ son todos nilpotentes en $R$ . Desde $R$ es conmutativo, obtenemos que $a_{1}X,a_{2}X^{2},\cdots,a_{n}X^{n}$ son todos nilpotentes y por lo tanto también su suma es nilpotente. Sea $z = \sum a_{i}X^{i}$ entonces $a_{0}^{-1}z$ es nilpotente y por tanto $1+a_{0}^{-1}z$ es una unidad. Así, $f(X)=a_{0}+z=a_{0} \cdot (1+a_{0}^{-1}z)$ es una unidad ya que el producto de dos unidades en $R[X]$ es una unidad.

No he podido conseguir la parte conversa y me gustaría ver la prueba de la parte conversa.

Answer 1

Dejemos que $f=\sum_{k=0}^n a_kX^k$ y $g= \sum_{k=0}^m b_kX^k$ . Si $f g=1$ entonces claramente $a_0,b_0$ son unidades y:

$$a_nb_m=0 \tag1$$
$$a_{n-1}b_m+a_nb_{m-1}=0$$

(al multiplicar ambos lados por $a_n$ )

$$\Rightarrow (a_n)^2b_{m-1}=0 \tag2$$
$$a_{n-2}b_m+a_{n-1}b_{m-1}+a_nb_{m-2}=0$$ (al multiplicar ambos lados por $(a_n)^2$ ) $$\Rightarrow (a_n)^3b_{m-2}=0 \tag3$$ $$.....$$ $$.....+a_{n-2}b_2+a_{n-1}b_1+a_nb_0=0$$ (al multiplicar ambos lados por $(a_n)^m$ ) $$\Rightarrow (a_n)^{m+1}b_{0}=0 \tag{m+1}$$

Desde $b_0$ es una unidad, se deduce que $(a_n)^{m+1}=0$ .

Por lo tanto, demostramos que $a_n$ es nilpotente, pero esto es suficiente. En efecto, dado que $f$ es invertible, $a_nx^n$ al ser nilpotente implica que $f-a_nX^n$ es la unidad y podemos repetir (o más rigurosamente, realizar la inducción sobre $\deg(f)$ ).

Answer 2

Si $R$ es un dominio entonces fácilmente $f(X)$ una unidad implica que $a_i = 0$ para $i>0$ . Ahora $R\to R/\mathfrak p$ , para $\mathfrak p$ primo, se reduce al caso del dominio, dando como resultado que el $a_i$ , $i>0$ están en cada ideal primario. Pero la intersección de todos los ideales primos es el nilradical, el conjunto de todos los elementos nilpotentes - como has demostrado hace unos días.

Nota: $ $ Este es un ejemplo prototípico de reducción a dominios por factorización de ideales primos.