Álgebra lineal: Demostrar la igualdad de las matrices

Question

Por favor, ayúdenme con el siguiente problema

Dado $m$ $n\times n$ matrices $A_1,A_2,...,A_m$ , donde $m>2^n$

Suponiendo que $A_i^2=O$ para todos $i=1,2...,n$ .

Demostrar que $A_1A_2...A_n=O$

Answer 1

Esto no es cierto. Tomemos $n = 2$ . Establecer

$$ A_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, A_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}. $$

Entonces $A_1^2 = A_2^2 = 0$ et $A_1 A_2 A_1 = A_1$ por lo que en particular podemos formar el producto $A_1 A_2 A_1 A_2 A_1 = A_1$ que es distinto de cero.