Es $\langle\mathbb{Q_-}, \leq\rangle \simeq \langle\mathbb{Q_+}, \leq\rangle$ ¿Isomorfo?

Question

Dejemos que $\leq$ sea el orden habitual en $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{Q_-}=\{q\in \mathbb{Q}: q <0\}, \mathbb{Q_+}=\{q\in \mathbb{Q}: q >0\}$ . ¿Se cumple lo siguiente?

(a) $\langle\mathbb{Q_-}, \leq\rangle \simeq \langle\mathbb{Q_+}, \leq\rangle$

(b) $\langle\mathbb{Q_-} \cup \{0\}, \leq\rangle \simeq \langle\mathbb{Q_+}\cup \{0\}, \leq\rangle$

donde $\simeq$ denota un isomorfismo de conjuntos ordenados.

Para que dos conjuntos sean isomorfos, tiene que haber una biyección entre ellos (1) y esta biyección tiene que preservar el orden (2). Si definimos $f(x) = -{1 \over x}$ se mapea de un conjunto a otro y preserva $\leq$ . Por lo tanto, (a) sería cierto.

Para (b), redefiniendo $$ f(x) = \begin{cases} -{1 \over x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0 \end{cases} $$ no ayuda ya que $0$ rompe el orden. Tengo la sospecha de que (b) no se cumple ya que tenemos problemas al intentar enviar $0$ entre los conjuntos. Agradecería cualquier comentario.

Answer 1

(a) se resuelve muy bien, aunque no estaría de más una prueba explícita de que $f$ conserva el orden.

Para (b), la existencia de elementos mínimos y máximos se preserva bajo isomorfismos de orden. Uno de ellos tiene un elemento máximo pero no mínimo, mientras que el otro tiene un elemento mínimo pero no máximo. Por lo tanto, no son isomorfos.