Aunque no participé en la mayor parte de las comprobaciones de Shavgulidze de Shavgulidze, puedo ofrecer el siguiente relato parcial de la situación. I me han dicho que el documento era correcto excepto por un lema (o una secuencia de ellos) que afirmaba que una secuencia de medidas auxiliares tenía ciertas propiedades. Se trataba de medidas de Borel en la $n$ -simplex (uno para cada $n$ ). I creo que se demostró que la secuencia auxiliar de medidas originalmente propuesta medidas sí no tienen una de las dos propiedades. Shavgulidze propuso otras secuencias de medidas. El intento más reciente que conozco que conozco (que fue presentado durante su viaje de 2010 a los EE.UU. mencionado por Mark Sapir en el comentario anterior) implicó la construcción directa de conjuntos de Folner para la acción de $F$ en los subconjuntos finitos de los racionales diádicos racionales díadicas (ver los párrafos siguientes). Los detalles eran algo escasos y las definiciones implicaban muchos parámetros numéricos no especificados, pero parecía que estos conjuntos no podían ser Folner en el sentido sentido necesario (véase más adelante una aclaración sobre el "sentido necesario"). Esto se debe a que probablemente que contradicen el límite inferior exponencial iterado de la función de Folner que he demostrado y porque parecen violar las propiedades cualitativas que he demostrado que los conjuntos de Folner de árboles de Folner (véase el preimpreso en mi página web; la condición cualitativa La condición cualitativa aparece en el lema 5.7, señalando que marginal implica medida 0 con respecto a cualquier medida invariante).
Mientras tanto, pude proporcionar una prueba elemental directa de que el existencia de una secuencia con estas propiedades implicaba la amenidad de $F$ . De hecho, la prueba ofrece un procedimiento explícito para construir conjuntos de Folner (ponderados) a partir de la secuencia de medidas que satisfacen las hipótesis mencionadas anteriormente. Una nota con los detalles se distribuyó a algunas personas en la época de la visita de Shavgulidze a Vanderbilt. de la visita de Shavgulidze a Vanderbilt. Aunque me resisto a hablar en nombre de los demás (incluido el autor), me parece que me parece que después de que el polvo se había asentado (que tomó una cantidad considerable de tiempo), el problema con la prueba parece tener al menos algunas de sus raíces en la siguiente observación (que ahora incluyo en aras de la prosperidad). $F$ actúa sobre los subconjuntos finitos de las raciones diádicas (llamemos a este conjunto $\mathcal{D}$ ) tomando la imagen del conjunto (aquí estoy utilizando el modelo de función lineal a trozos de $F$ ). Ahora dejemos que $\mathcal{T}$ denota el subconjunto finito de $[0,1]$ que contienen $0$ et $1$ y son tales que cualquier par consecutivo es de la forma $p/2^q,(p+1)/2^q$ (para los números naturales $p,q$ ). $F$ sólo actúa parcialmente en $\mathcal{T}$ La acción: la acción $T \cdot f$ se define si $f'$ se define en el complemento de $T$ en $[0,1]$ (puede haber otros casos cuando $T \cdot f$ está en $\mathcal{T}$ pero restrinjamos el dominio de de la acción como en el caso anterior). La acción completa de $F$ en $\mathcal{D}$ es susceptible. El punto aquí es que la acción de los generadores estándar sobre los conjuntos $\{0,1-2^{-n},1\}$ es el mismo para un tamaño suficientemente grande $n$ y así podemos construir conjuntos Folner como en un $\mathbb{Z}$ acción. La amenidad de la acción parcial acción de $F$ en $\mathcal{T}$ es, por otra parte, equivalente a la amenidad de $F$ (esto es bien conocido, pero ver el preprint anterior para ver para ver cómo se explica en la jerga actual).
Ahora bien, aquí está la trampa, si además exigimos que el invariante medida/Folner para la acción de $F$ en $\mathcal{D}$ a concentrarse en conjuntos de mallas inferiores a $1/16$ Entonces se llega de nuevo a una formulación equivalente de la amenidad de $F$ . El autor era consciente de la necesidad de la condición de malla, pero (en el ejemplo más reciente) lo dispuso sólo en una modificación a posteriori (que interfiere con la invariabilidad).
Por cierto, las hipótesis sobre la secuencia de medidas mencionadas anteriormente son una condición que exige que las medidas se concentren en conjuntos de mallas arbitrariamente pequeñas como $n$ tiende a infinito y una condición que es un análogo de la invariancia de traslación.
Pido disculpas si esto roza el "exceso de información".
[Añadido 1/28/2011] La nota de Shavgulidze del 14 de enero de 2011 en el ArXiv es esencialmente una versión más detallada de lo que decía en notas, seminarios y comunicaciones privadas en enero de 2010 durante su visita a los EE.UU. mencionada en el post de Mark Sapir más arriba. La presente nota sigue siendo lo suficientemente vaga y está llena de suficientes errores (muchos de ellos de naturaleza tipográfica) que es difícil (o fácil, si se quiere) decir explícitamente qué línea de la prueba es incorrecta. Sin embargo, es posible señalar los lugares en los que faltan detalles cruciales y en los que seguramente habrá errores (concretamente los problemas estarán en la página 11, si no en otros lugares también). Los comentarios de mi respuesta anterior siguen siendo igualmente válidos para la versión actual. Parece que la versión actual (o cualquier perturbación de la misma) seguiría violando el límite inferior del crecimiento de la función de Folner que he establecido. La versión actual sigue ignorando totalmente que las propias afirmaciones combinatorias de la página 11 implican fácilmente la amenidad de F, sin la participación de ningún concepto analítico.
[Añadido 2/3/2011] Detalles sobre lo que es incorrecto en la prueba de Shavgulidze sobre la amenidad de $F$ se puede encontrar aquí .
[Añadido 10/3/2012] Bueno, bueno, bueno: ahora Yo en la posición de haber anunciado una prueba de que $F$ sólo es susceptible de que se encuentre un error. El error fue finalmente encontrado por Azer Akhemedov después de haber sido pasado por alto durante aproximadamente 4 semanas por mí y por 9 o más personas que habían comprobado la prueba y no encontraron ningún problema. La estrategia básica de la prueba puede seguir siendo válida: empezaba considerando una extensión del sistema binario libre $(\mathbb{T},*)$ en un generador a las medidas de probabilidad finitamente aditivas en este sistema: $$\mu * \nu (E) = \int \int \chi_E(s * t) d \nu (t) d \mu (s).$$ Se demostró (correctamente) que cualquier medida idempotente es $F$ -invariante (hay una forma natural de identificar $\mathbb{T}$ con los elementos positivos de $F$ ). La dificultad vino al construir la medida idempotente. Se utilizó una versión del Teorema del Punto Fijo de Kakutani para construir aproximaciones $K_{\mathcal{B},k,n}$ al conjunto de medidas idempotentes. El error se produce al intentar intersecar estas familias compactas de medidas. En la demostración, se afirmó que el parámetro $k$ podría estabilizarse a lo largo de un ultrafiltro (Lemma 4.13 en la versión más reciente), permitiendo tomar una intersección dirigida de conjuntos compactos no vacíos. Este lema es probablemente falso y, al menos, no está demostrado como se afirma. Todavía se puede argumentar que una intersección relevante de estas aproximaciones es no vacía y, por tanto, que hay un idempotente. Sin embargo, esto parece requerir nuevas ideas.
