¿Qué debemos enseñar a los estudiantes de artes liberales que sólo van a cursar una asignatura de matemáticas?

Question

Incluso los profesores de departamentos académicos distintos de los de matemáticas -y no digamos los de otras personas cultas- no saben que existe un campo como el de las matemáticas. Una vez, un profesor de medicina me preguntó si era necesario escribir una tesis para obtener un doctorado en matemáticas, y luego añadió: "Después de todo, ¿no se sabe ya todo?". Las personas alfabetizadas saben, en general, que la física y la biología son campos en los que se hacen constantemente nuevos descubrimientos. ¿Por qué debería ser más difícil hacer saber eso de las matemáticas que de la física? Al fin y al cabo, no es que la mayoría de la gente que sabe eso de la física tenga idea de cuáles son esos nuevos descubrimientos.

Los estudiantes de artes liberales suelen tener que cursar un curso de matemáticas. A menudo ese curso consiste en un montón de habilidades administrativas inútiles. Cómo hacer descomposiciones de fracciones parciales y cosas por el estilo es lo que se les dice a los estudiantes que es el "pensamiento matemático". En algunos casos, los profesores consideran que el único curso de matemáticas que toma el estudiante de filosofía no merece la pena porque los estudiantes que no aprendieron esa materia en el instituto de la forma en que se suponía que debían hacerlo no son buenos.

Cuando una universidad tiene un curso destinado a familiarizar a los que cursan sólo una asignatura de matemáticas con el hecho de que las matemáticas son un campo intelectual, sigue habiendo numerosos estudiantes que sólo cursan la asignatura de álgebra cuyo contenido se enseña sólo porque es material de prerrequisito para otras asignaturas que el estudiante nunca cursará.

Entonces, ¿qué debemos enseñar a los estudiantes de artes liberales que sólo van a cursar una asignatura de matemáticas?

Answer 1

Tuvimos una discusión sobre esto en la sbparty. La conclusión a la que llegué es que cubriría los tres temas siguientes.

1. El cálculo básico. El objetivo principal de esta parte de la clase es convencer a la gente de que 1 millón de dólares es una pequeña cantidad de dinero, pero 1.000 millones de dólares es una gran cantidad de dinero. (Por ejemplo, si ganas un millón de dólares mañana no debes dejar de estudiar, pero si ganas mil millones de dólares debes hacer lo que quieras). Otros temas relacionados son los problemas de Fermi, la comprensión de las escalas de las cosas, etc. Si hay tiempo suficiente, esta unidad terminaría explicando cómo el crecimiento exponencial es mucho más rápido que el lineal.
2. Estadísticas básicas. En realidad, no sé mucho de estadística, así que no estoy totalmente seguro de lo que debería abarcar, pero el objetivo es que la gente sea capaz de entender las encuestas, el muestreo y las falacias estadísticas comunes. La gente debería salir de esta unidad entendiendo lo que significa el margen de error en una encuesta, una idea aproximada de las desviaciones estándar y por qué el muestreo mejoraría la precisión del censo.
3. ¿Por qué son divertidas las matemáticas? El objetivo de esta sección es mostrar a la gente algunas cosas divertidas que ilustran lo que son las matemáticas tal y como las practican los matemáticos. No se espera que los estudiantes aprendan realmente nada aquí, sino que se espera que se convenzan de que los matemáticos hacen cosas interesantes. En particular, estaría bien que una persona de la clase a la que le gustaran las clases de matemáticas avanzadas (pero que aún no lo sabe) pudiera ver que las matemáticas son algo que le gustaría. Si yo diera esta clase, probablemente haría Fracciones de Farey, ya que es mi tema favorito, pero hay muchas buenas opciones (sólidos platónicos, teoría de conjuntos de Cantor, RSA, etc.).

La tercera sección sería más corta que las dos primeras y se trataría con menos intensidad en los exámenes.

Answer 2

Enséñales algo sorprendente, algo memorable.

Revisando el contenido de "The Heart of Mathematics: An Invitation to Effective Thinking" de Edward B. Burger y Michael Starbird, entre otras cosas hablan de la teoría de los números (hasta la encriptación RSA), los números irracionales, los diferentes tamaños del infinito, la cuarta dimensión, la teoría de los nudos, los fractales y la probabilidad contraintuitiva.

Estos son los tipos de cosas que emocionan a los matemáticos, y deberíamos tratar de dar a nuestros estudiantes alguna sensación de ese tipo de emoción. El libro de Burger y Starbird está diseñado para un curso de tipo "artes liberales", y creo que demuestran que es posible dar una comprensión de lo que está sucediendo de una manera que sea al menos algo aceptable para los no matemáticos.

Answer 3

Al examinar las demás respuestas hasta la fecha, parece que mucha gente ha asumido que, sin asumir el cálculo, lo máximo que podemos esperar para enseñar a los estudiantes de grado es la probabilidad, la estadística, las fracciones/los porcentajes, los juegos de ingenio y los rompecabezas.

¿No estamos disparando demasiado bajo?

Para un ejemplo extremo de lo lejos que podríamos llevar ese rumbo, considere una cita de Arnol'd en Sobre la enseñanza de las matemáticas :

Por cierto, en los años 60 enseñé teoría de grupos a los escolares de Moscú. Evitando toda la axiomática y manteniéndome lo más cerca posible de la física, en medio año llegué al teorema de Abel sobre la irresolubilidad de una ecuación general de grado cinco en radicales (habiendo enseñado en el camino a los alumnos los números complejos, las superficies de Riemann, los grupos fundamentales y los grupos de monodromía de las funciones algebraicas). Este curso fue publicado posteriormente por uno de los asistentes, V. Alekseev, como el libro The Abel theorem in problems.

Deja de lado el peliagudo asunto de que este instituto, ya de por sí mucho más especializado que los de Estados Unidos, era uno de los principales institutos de matemáticas/física de Rusia. Más bien, presta atención al hecho de que las primeras 220 páginas del libro de Alekseev son autocontenidas y no es necesario el cálculo.

Además, considere la idea de un curso de un año de duración que siga las indicaciones de Penrose Camino a la realidad . Mostrar a la gente el papel de las matemáticas en el desentrañamiento de los secretos del universo siempre me ha parecido mucho más genial que otras tácticas de inspiración.

Quiero dejar claro que creo que exigir un curso como el de Arnol'd de forma generalizada es demasiado optimista. Sin embargo, creo que la selección de los temas de dicho curso para reflejar lo que los matemáticos valoran en general podría contribuir en gran medida a proporcionar tanto una apreciación cultural de las matemáticas modernas (como le gustaría a Lockhart's Lament) y una oportunidad para pensar con rigor sobre objetos inicialmente simples (grupos) y luego objetos más complejos pero visibles (superficies de Riemann).

Si la gente es pesimista en cuanto a que los "estudiantes de artes liberales" no tienen los bienes necesarios para pensar en la teoría de grupos, entonces preferiría tener un curso de historia de las matemáticas que siga algo como lo de Stillwell Las matemáticas y su historia En lugar de aburrir a los estudiantes con la impresión de que las matemáticas tienen un rico trasfondo filosófico, se les hace un seguimiento sin sentido de la teoría de grafos, la probabilidad y una mezcla de temas aparentemente no relacionados.

La idea que prevalece entre mucha gente parece ser que tenemos que asegurarnos de que los conocimientos básicos de aritmética están presentes y que esto es tarea del departamento de matemáticas. No creo que la falta de conocimientos numéricos sea un problema del sistema escolar en su estado actual. La gente se olvida de las matemáticas de la escuela secundaria y del instituto porque para ellos las matemáticas son una asignatura muerta sin inspiración y simplemente aburrida. Cambiemos eso.

Answer 4

El objetivo que me planteo es conseguir que los alumnos puedan entender cómo otra persona puede disfrutar de las matemáticas.

Answer 5

Creo que esta pregunta puede interpretarse en realidad de dos maneras diferentes, ya que hay esencialmente dos cursos posibles para dar:

1. Un curso cuyo propósito es enriquecer la vida de los estudiantes (como dijo Ilya Grigoriev en su comentario) - tal curso probablemente haría mejor en adaptar ideas principalmente de la respuesta de Noah Snyder - escalas, estadísticas (pensamiento probabilístico), y yo añadiría algunos otros temas (tal vez pequeños rompecabezas lógicos para hacer que los estudiantes vean cómo "pensar matemáticamente" puede tener un efecto positivo en su análisis de situaciones cotidianas).
2. Un curso cuyo objetivo principal es convencer a los alumnos de que "las matemáticas son geniales". Hacer que abandonen las falsas impresiones con las que se les ha alimentado durante toda su vida, acerca de que las matemáticas son una "ciencia muerta" ("¿no se han resuelto ya todos los problemas matemáticos?") - esto puede lograrse mirando las matemáticas desde una perspectiva histórica, especialmente poniendo énfasis en los problemas resueltos recientemente (digamos los últimos 50 años), los problemas abiertos y los nuevos campos emergentes en las matemáticas. Hacerles ver que las matemáticas pueden ser divertidas es quizás el objetivo final, como mencionó Kevin O'Bryant.

Ahora surge la pregunta: ¿cuál de los dos cursos debemos impartir? Moralmente, si pensamos en el beneficio de nuestros alumnos, tendríamos que elegir el primero. Pero si nos interesa principalmente la "publicidad" (¡que no me parece mala idea!), deberíamos elegir el segundo. ¿Quizás si ese "curso de publicidad" es lo suficientemente bueno, les convencería de hacer un segundo curso, más en la línea del nº 1 anterior?

Una solución de compromiso podría ser dividir el curso en dos partes: después de haber convencido a los alumnos de que las matemáticas pueden ser geniales, se puede pasar a enseñarles cosas más tradicionales que les resulten beneficiosas.