¿Cuál es el anillo afín de $\mathbb{P}^1_K - P$ donde $P$ es una zona cerrada pero posiblemente no $K$ -punto racional.

Question

Dejemos que $K$ sea un campo, y que $P\in\mathbb{P}^1_K$ sea un punto cerrado. Si $P$ es un $K$ -punto racional, entonces $\mathbb{P}^1_K - P = \text{Spec }K[x]$ .

En general, creo que $\mathbb{P}^1_K - P$ sigue siendo afín. ¿Cómo podemos describir su anillo afín?

Answer 1

Afirmo que $P=(F)$ para un polinomio homogéneo irreducible $F\in K[x,y]$ y que por lo tanto $\Bbb{P}^1_K-P=D_+(F)$ es de hecho un afín abierto distinguido.

Para ver esto, considera los conos afines involucrados. El cono afín de $\Bbb{P}^1_K$ es sólo $\Bbb{A}^2_K$ y el cono afín de $P$ tendrá codimensión 1 en $\Bbb{A}^2$ y por lo tanto es una hipersuperficie irreducible. Así, para demostrar que el ideal de $P$ está generado por un único elemento homogéneo, basta con demostrar que las hipersuperficies irreducibles en $\Bbb{A}^2$ son recortados por un solo elemento.

Considere el ideal $(f,g)\subseteq K[x,y]$ con $f\nmid g$ y $g\nmid f$ . Si $\gcd(f,g)\ne 1$ entonces hay un irreducible $\pi$ con $\pi \mid f$ y $\pi \mid g$ y entonces tenemos que $(f,g)\subseteq (\pi)$ Sin embargo $\pi$ recorta una hipersuperficie irreducible, al igual que $(f,g)$ Así que tenemos, de hecho, que $(f,g)=(\pi)$ . Por otro lado, si $\gcd(f,g)=1$ y luego trabajar en $K(x)[y]$ tenemos que $Af+Bg=1$ para $A,B\in K(x)[y]$ o $af+bg=p(x)$ con $a,b\in K[x,y]$ y $p\in K[x]$ por la eliminación de los denominadores. Del mismo modo, hay $a',b'\in K[x,y]$ y $q\in K[y]$ con $a'f+b'g=q(y)$ . Entonces tenemos que $(K[x]/(p))[y]/(q)$ es de dimensión finita sobre $K$ y $(p(x),q(y))\subseteq (f,g)$ Así que $K[x,y]/(f,g)$ es de dimensión finita sobre $K$ por lo tanto, Artiniano, y por lo tanto $\operatorname{Spec} K[x,y]/(f,g)$ es $0$ dimensional, contradiciendo nuestra suposición de que $(f,g)$ cortar una hipersuperficie irreducible. Así, todas las hipersuperficies irreducibles en $\Bbb{A}^2_K$ se recortan con un único polinomio irreducible.

Como resultado, esto implica que el cono afín de $P$ en $\Bbb{A}^2(K)$ se recorta con un único polinomio homogéneo, $F$ y $\Bbb{P}^1_K-P=D_+(F) = \operatorname{Spec} ((K[x,y]_F)_0)$