Volumen de rotación

Question

Dejemos que $W_n$ sea la región en un $xy$ -plano que está limitado por el $y$ -eje y la parábola $x=y^2-n^2$ .

Encuentre el valor de $n$ para el que el volumen obtenido al girar $W_n$ sobre el $y$ -eje es precisamente 16 veces el volumen obtenido al girar $W_n$ sobre el $x$ -eje.

Answer 1

Empecemos con la revolución del eje Y.

Estamos integrando desde $-n$ a $n$ .

Obtenemos $2π\displaystyle \int_0^{n}(n^2-y^2)^2\,dy = \frac{16}{15}πn^5$

Puse un $2$ en el frente para la simetría y la facilidad de cálculo.

A continuación, hacemos la revolución del eje x. Esto es un poco difícil, tenemos que reescribir en términos de $x$ .

$x=y^2-n^2$ se convierte en $y=\sqrt{x+n^2}$

Ni más ni menos, porque cualquiera de los dos produciría el sólido necesario. El uso de conchas cubriría el volumen del sólido DOS veces.

Obtenemos $π\displaystyle \int_{-n^2}^{0}(x+n^2)\,dx = \frac{1}{2}πn^4$ .

Así que obtenemos $\displaystyle \frac{16}{15}πn^5=16 \times \frac{1}{2}πn^4$ .

Esto significa que $\frac{16}{15}πn^5=8πn^4$ .

Obtenemos $\frac{16}{15}n=8$ .

Por lo tanto, $\boxed{n=\displaystyle \frac{15}{2}}$ .

Answer 2

Estoy asumiendo que puedo escribir $x=n^2-y^2$ y que los rangos de las variables vienen dados entonces por $x\in[0,n^2],\,\,y\in[0,n]$ . Ahora invocaré a Pappus $(2^{nd})$ Teorema del centro: el volumen de un área plana de revolución es el producto del área $A$ y la longitud de la trayectoria trazada por su centroide $R$ es decir, $2πR$ . El volumen es simplemente $V=2πRA$ . Por último, expresaré $RA$ en el plano complejo para que no pueda calcularlo para los dos $x$ y $y$ componentes al mismo tiempo. Así.

$$ \begin{align} RA &=\int_0^n\int_0^{n^2-y^2}(x+iy)dx\,dy\\ &=\int_0^n\left(\frac{x^2}{2}+ixy\right)\big|_0^{n^2-y^2}\,dy\\ &=\int_0^n\left(\frac{(n^2-y^2)^2}{2}+i(n^2-y^2)y\right)dy\\ &=\frac{1}{2}\left[n^5-\frac{2n^5}{3}+\frac{n^5}{5}\right]+i\left[\frac{n^4}{2}-\frac{n^4}{4}\right] \end{align} $$

A continuación, ajuste

$$\frac{\Re\{RA\}}{\Im\{RA\}}=16=\frac{\frac{n}{2}\frac{8}{15}}{\frac{1}{4}}\Rightarrow n=15$$

He comprobado este resultado numéricamente.