$sl_2(\Bbb R)$ es un álgebra de Lie simple

Question

Dejemos que $D_n$ sea el conjunto de derivaciones de la forma $P(t) \frac{d}{dt}$ , donde $P\in \Bbb R[t]\setminus \{0\}$ y $deg\ P\le n$ .

Dejemos que $_2 := t^2 \frac{d}{dt}$ y $_1 := 2t \frac{d}{dt}$ y $_0 = \frac{d}{dt}$ sean elementos de $D_2$ .

Demostrar que $sl_2(\Bbb R)$ es simple.

Lo que hice:

He encontrado un isomorfismo de $D_2$ a $sl_2(\Bbb R)$ , dado por:

$f(_1) = H, f(_2) = X, f(_0) = Y$ donde :

$H=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, X= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, Y= \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

Ahora me toca demostrar que $D_2$ es simple.

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Cualquier ideal no nulo de $\mathfrak{sl}_2$ contiene una de $H$ , $X$ y $Y$ Como $[H,aH+bX+cY]=2bX-2cY$ y $[H,[H,aH+bX+cY]]=4bX+4cY$ entonces si $I$ es un ideal de $\mathfrak{sl}_2$ y $aH+bX+cY\in I$ entonces $aH\in I$ , $bX\in I$ y $cY\in I$ .

Si $H\in I$ entonces $[H,X]=2X\in I$ y $[H,Y]=-2Y\in I$ para que $I=\mathfrak{sl}_2$ .

Si $X\in I$ o $Y\in I$ entonces $H=[X,Y]\in I$ .

Todo esto está en los libros de texto sobre álgebras de Lie.