Como dijo Asaf en los comentarios, no hace falta el teorema del producto de Tikhonov para demostrar que este espacio de productos en particular es compacto. El argumento es un buen ejercicio; yo he hecho toda la configuración a continuación, dejando la parte del argumento para que la pruebes si lo deseas.
Fijar un número entero $n\ge 2$ . Sea $I_\varnothing=[0,1]$ . Si $\sigma$ es una secuencia finita de elementos de $\Bbb N_n$ y $I_\sigma=[a,b]$ es un intervalo cerrado en $[0,1]$ , dejemos que $\epsilon=\frac{b-a}{2n+1}$ . Para $k\in\Bbb N_n$ dejar $x_k=a+k\epsilon$ y $I_{\sigma^\frown k}=[x_{2k},x_{2k+1}]$ , donde $\sigma^\frown k$ es la secuencia finita que se obtiene añadiendo $k$ a $\sigma$ . Para $k\in\Bbb N$ dejar $$C_k=\bigcup\{I_\sigma:|\sigma|=k\}\;,$$ donde $|\sigma|$ es la longitud de la secuencia $\sigma$ . Cada conjunto $C_k$ es la unión de un número finito de intervalos cerrados en $[0,1]$ por lo que es un subconjunto compacto de $\Bbb R$ . Sea $C=\bigcap_{k\in\Bbb N}C_k$ ; $C_{k+1}\subseteq C_k$ para cada $k\in\Bbb N$ Así que $C$ es un subconjunto compacto no vacío de $[0,1]$ .
Dejemos que $X=\prod_{k\ge 0}\Bbb N_n$ Cada uno de ellos $x\in X$ es una secuencia infinita de elementos de $\Bbb N$ . Para cada $k\in\Bbb N$ dejar $\sigma_k(x)$ sea la sucesión de $x$ que consiste en la primera $k$ términos, y que $$I_x=\bigcap_{k\in\Bbb N}I_{\sigma_k(x)}\;;$$ $I_{\sigma_{k+1}(x)}\subseteq I_{\sigma_k(x)}$ para cada $k\in\Bbb N$ Así que $I_x\ne\varnothing$ . $I_{\sigma_k(x)}$ es un intervalo cerrado de longitud $\left(\frac1{2n+1}\right)^k$ para cada $k\in\Bbb N$ Así que $I_x$ debe contener un solo punto (¿por qué?); llame a ese punto $\varphi(x)$ . Ahora demuestre que el mapa $\varphi:X\to C$ es un homeomorfismo y concluir que $X$ es compacto.
$X$ y $C$ son conjuntos de Cantor: en realidad son homeomorfos al más conocido conjunto de Cantor de tercios medios.
