Si $A$ es singular, es $A^3+A^2+A$ ¿Singular?

Question

Supongamos que $A$ es singular, es $A^3 + A^2 + A$ ¿también en singular?

Answer 1

Desde $A$ es singular, tiene un núcleo no trivial. Sea $v$ sea un vector no nulo matado por $A$ .

Demostrar que $A^3+A^2+A$ mata a $v$ también.

Answer 2

$A$ es singular, por lo que $|A|=0$ así: $$|A^{3}+A^{2}+A|=|A(A^{2}+A+I)|=|A||A^{2}+A+I|=0\cdot|A^{2}+A+I|=0$$

por lo que $A^{3}+A^{2}+A$ también es singular

Answer 3

Si $A$ es singular, entonces $AB$ también es singular, para cualquier elección de $B$ . Sólo hay que poner $B=A^2+A+I$ .

Answer 4

Una matriz cuadrada es singular si y sólo si existe un vector no nulo que mapea a cero cuando se transforma por la matriz.

Dejemos que $A\in\mathbb{R}^\mathit{n{\times}n}$ sea singular. Entonces existe $x\in\mathbb{R}^n$ tal que $x\neq0$ y $Ax=0$ . Así, $(A^3+A^2+A)x=(A^2+A+I)Ax=(A^2+A+I)0=0$ . Por lo tanto, $A^3+A^2+A$ es singular.