Norma del operador de $T\colon H\to H$ si sabemos $\|T|_{W}\|$ y $\|T|_{W^{\perp}}\|$ , donde $W\subset H$ es un subespacio cerrado.

Question

Supongamos que $H$ es un espacio de Hilbert y $W\subset H$ un subespacio cerrado. Sea $T\colon H\to H$ sea un operador. Supongamos que $T_{W}\colon W\to H$ y $T_{W^{\perp}}\colon W^{\perp}\to H$ están acotados. Dados estos datos, ¿podemos calcular explícitamente la norma del operador $\|T\|$ de $T$ (en términos de las normas del operador de $T|_{W}$ y $T|_{W^{\perp}}$ )?

Desde $W$ es un subespacio cerrado, creo que hay que utilizar el hecho de que $H$ es isomorfo (como espacios de Hilbert) a la suma directa (algebraica) $W\oplus W^{\perp}$ , donde $W\oplus W^{\perp}$ está dotado del producto interno $$\langle u\oplus u^{\perp},v\oplus v^{\perp}\rangle_{W\oplus W^{\perp}}:=\langle u,v\rangle_{H}+\langle u^{\perp},v^{\perp}\rangle_{H},$$ donde $u,v\in W$ y $u^{\perp},v^{\perp}\in W^{\perp}$ .

Answer 1

No. Incluso en dos dimensiones esto no sería suficiente información. Consideremos las transformaciones dadas por las matrices $\begin{bmatrix} 1&0\\0&1\end{bmatrix}$ y $\begin{bmatrix} 1&1\\0&0\end{bmatrix}$ , donde $W$ y $W^\perp$ son los ejes de coordenadas. En ambos casos ambas normas restringidas son $1$ pero la norma es $1$ en un caso y $\sqrt2$ en el otro.

Puedes obtener los límites inferior y superior de la siguiente manera. Obviamente $\|T\| \geq \max\{\|T|_W\|,\|T|_{W^\perp}\|\}$ . Para el límite superior, considere un vector unitario $v \in H$ y escribir $v=w+x$ donde $w\in W$ y $x \in W^{\perp}$ .

$$ \|Tv\| = \|Tw+Tx\| \leq \|Tw\|+\|Tx\| \leq \|T|_W\|\|w\|+ \|T|_{W^\perp}\|\|x\|$$

El lado derecho se maximiza cuando la relación entre $w$ y $x$ es la misma que la relación entre $\|T|_{W}\|$ y $\|T|_{W^\perp}\|$ . Así que

$$ \|T\| \leq \frac{\|T|_{W}\|^2 + \|T|_{W^\perp}\|^2}{\sqrt{\|T|_{W}\|^2 + \|T|_{W^\perp}\|^2}} = \sqrt{\|T|_{W}\|^2 + \|T|_{W^\perp}\|^2}$$