Integral de trayectoria vs. medida en espacio de dimensión infinita

Question

Proveniente de un fondo matemático, estoy tratando de entender la formulación integral de caminos de la mecánica cuántica.

Según Feynman, si quieres averiguar la amplitud de probabilidad para una partícula moviéndose de un punto a otro, 1) calculas la contribución de cada camino posible que podría tomar, luego 2) "sumas" todas las contribuciones.

Normalmente, cuando quieres "sumar" un número infinito de cosas, lo haces poniendo una medida en el espacio de cosas, a partir del cual surge una noción de integración. Sin embargo, el espacio de funciones de caminos no es solo infinito, es extremadamente infinito.

Si el espacio de caminos tiene una noción de dimensión, sería de dimensión infinita (por ejemplo, visto como una subvariedad de $C([0,t],{\mathbb R}^n))$. Para cualquier noción razonable de distancia, cada bola fallará en ser compacta. Es difícil ver cómo se podría definir razonablemente una medida sobre un espacio como este: medidas tipo Lebesgue ciertamente están descartadas.

Los libros que he visto básicamente evitan definir qué es cualquier cosa, y en su lugar presentan un método para hacer cálculos involucrando caminos de "zig-zag" y renormalización. Aparentemente, esto da la respuesta correcta experimentalmente, pero parece extremadamente artificial (¿qué pasa si se aproximan los caminos de otra manera, cómo saber si se obtendrá la misma respuesta?). ¿Hay una forma más rigurosa de definir las integrales de caminos de Feynman en términos de espacios de funciones y medidas?

Answer 1

Hay dos definiciones más rigurosas de la integral de camino, la última de las cuales aún no se ha mencionado:

1. Integrales de calibre: El libro de Muldowney "A Modern Theory of Random Variation", Wiley, 2012 tiene un capítulo sobre el movimiento browniano de valores complejos (capítulo 7). Es el camino hacia la integración estocástica a través de una noción llamada variabilidad aleatoria. El punto de partida es la integral de Henstock ("integral de calibre"), una generalización de la integral de Riemann-Stieltjes. Sin embargo, este enfoque no es a través de medidas en espacios de funciones.
2. Medidas cilíndricas ("promeasures"). El libro "Analysis, Manifolds and Physics, Part I: Basics" de Choquet-Bruhat, DeWitt-Morette y Dillard-Bleick, North-Holland 1996, tiene una breve introducción a este enfoque en el capítulo IV.D, y allí puedes encontrar muchas referencias. La construcción comienza con la definición de un sistema proyectivo de espacios de cocientes finitos. La promedida es un sistema proyectivo de medidas en este sistema proyectivo de espacios de cocientes. La integral de Wiener general hacia los diagramas de Feynman está en la sección de problemas y ejercicios al final del libro.