Integral de trayectoria vs. medida en espacio de dimensión infinita

Question

Proveniente de un fondo matemático, estoy tratando de entender la formulación integral de caminos de la mecánica cuántica.

Según Feynman, si quieres averiguar la amplitud de probabilidad para una partícula moviéndose de un punto a otro, 1) calculas la contribución de cada camino posible que podría tomar, luego 2) "sumas" todas las contribuciones.

Normalmente, cuando quieres "sumar" un número infinito de cosas, lo haces poniendo una medida en el espacio de cosas, a partir del cual surge una noción de integración. Sin embargo, el espacio de funciones de caminos no es solo infinito, es extremadamente infinito.

Si el espacio de caminos tiene una noción de dimensión, sería de dimensión infinita (por ejemplo, visto como una subvariedad de $C([0,t],{\mathbb R}^n))$. Para cualquier noción razonable de distancia, cada bola fallará en ser compacta. Es difícil ver cómo se podría definir razonablemente una medida sobre un espacio como este: medidas tipo Lebesgue ciertamente están descartadas.

Los libros que he visto básicamente evitan definir qué es cualquier cosa, y en su lugar presentan un método para hacer cálculos involucrando caminos de "zig-zag" y renormalización. Aparentemente, esto da la respuesta correcta experimentalmente, pero parece extremadamente artificial (¿qué pasa si se aproximan los caminos de otra manera, cómo saber si se obtendrá la misma respuesta?). ¿Hay una forma más rigurosa de definir las integrales de caminos de Feynman en términos de espacios de funciones y medidas?

Answer 1

La integral de trayectoria es de hecho muy problemática por sí misma. Pero hay maneras de casi capturarla rigurosamente.

Proceso de Wiener

Una forma es comenzar con Espacio de Wiener Abstracto que puede construirse a partir del Hamiltoniano y lleva una medida de Wiener canónica. Esta es la medida habitual que describe las propiedades del paseo aleatorio. Ahora, para llegar a la integral de trayectoria, hay que aceptar la existencia de "rotación de Wick infinita-dimensional Wick rotation" y continuar analíticamente la medida de Wiener al plano complejo (y cada vez que se hace esto, un probablista muere en algún lugar).

Esta es la conexión habitual entre la física estadística (que es una teoría real agradable y bien definida) a temperatura inversa $\beta$ en dimensiones espacio-temporales (N+1,0) y la evolución del sistema cuántico en dimensiones (N, 1) para un tiempo $t = -i \hbar \beta$ que se utiliza en toda la física pero casi nunca se justifica. Aunque en algunos casos fue posible demostrar que la teoría Wightman QFT es de hecho una rotación de Wick de algún QFT euclidiano (tenga en cuenta que la mecánica cuántica también es un caso especial de QFT en dimensiones espacio-temporales (0, 1)).

---

Intermedio

Este es un buen lugar para señalar que mientras la integral de trayectoria es problemática en la Mecánica Cuántica, una gran cantidad de problemas diferentes surgen con más dimensiones espaciales. Uno tiene que lidiar con distribuciones con valores de operador y no hay una buena manera de multiplicarlas (lo que los físicos absolutamente necesitan hacer). Hay varios enfoques axiomáticos para abordar esto y de hecho se ven muy bien. Excepto que es muy difícil encontrar una teoría que satisfaga estos axiomas en realidad. En particular, ninguna de nuestras teorías actuales del Modelo Estándar han sido definidas rigurosamente.

---

De todos modos, para hacer la rotación de Wick un poco más clara, recuerde que la ecuación de Schrödinger es una especie de ecuación de difusión pero para una introducción de números complejos. Y luego simplemente volver al principio y notar que la ecuación de difusión es una ecuación macroscópica que captura el comportamiento medio del paseo aleatorio. (Pero esto no significa que la integral de trayectoria dependa de alguna manera de la física schrödingeriana, no relativista)

Otros

Hubo otros enfoques para definir rigurosamente la integral de trayectoria. Proponen algún conjunto de axiomas que la integral de trayectoria debe cumplir y continúan a partir de ahí. Según mi conocimiento (pero me encantaría estar equivocado), todos estos enfoques son demasiado restrictivos (no describen la mayoría de las situaciones físicamente interesantes). Pero si quieres puedo buscar algunas referencias.

Answer 2

En el espacio-tiempo de 2 dimensiones, las integrales de camino de Feynman están perfectamente definidas, aunque comprender cómo se hace rigurosamente es un poco complicado. Pero todo está detallado en el libro ''Quantum Physics: A Functional Integral Point of View'' de Glimm y Jaffe. http://www.amazon.com/Quantum-Physics-Functional-Integral-Point/dp/0387964770

En 4 dimensiones de espacio-tiempo, cómo darle un sentido riguroso a la integral de camino de Feynman es un problema sin resolver. Por un lado, no hay indicación de que alguna versión rigurosa de la misma no pueda existir, y se espera que las propiedades estructurales que la integral tiene en 2D continúen siendo válidas. Por otro lado, la construcción de una integral 4D que tenga estas propiedades solo ha tenido éxito en el caso libre, y los métodos utilizados para las construcciones en dimensiones inferiores parecen ser demasiado débiles para funcionar en 4 dimensiones.

Editar: Por otro lado, en la mecánica cuántica con un número finito de grados de libertad, las integrales de camino de Feynman están muy bien entendidas, y se han escrito libros enteros sobre el tema en un estilo matemáticamente riguroso, por ejemplo, el libro ''The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus'' de Johnson y Lapidus. http://tocs.ulb.tu-darmstadt.de/110841727.pdf

Answer 3

One major difficulty with defining path-integrals (which is entirely mathematicians' fault)is that the mathematicians insist for no good reason (and many bad ones) that there are non-measurable subsets of R. This is a psychological artifact of early days of set theory, where ZFC was not seen as a way of generating countable models of a set-theoretic universe, but as the way things REALLY are in Plato-land (whatever that means). Cohen fixed that in 1963, but mathematicians still haven't gotten used to the fix, but that is changing rapidly.

If you assume every subset of R is measurable, the notion of "randomly picking a number between 0 and 1" becomes free of contradiction. In the presence of the axiom of choice, the question "what is the probability that this number lands in a Vitali set?" is paradoxical, but in the real world, it is obviously meaningful. This tension is resolved in what is called a "Solovay model", where you have no more trouble with probability arguments meshing with set theory. For a non-mathematician, when you deal with sets which arise by predicative definition, not by doing uncountable axiom-of-choice shenanigans, probability is never contradictory. A Solovay model still allows you to use countable axiom-of-choice, and countable dependent choice, which is enough for all usual analysis.

Anyway, inside a Solovay model, you can define a Euclidean bosonic path integral very easily: it is an algorithm for picking a random path, or a random field. This has to be done by step-wise refinement, because the random path or random field has values at a continuum of points, so you need to say what it means for a path to "refine" another path. further, while paths end up continuous, so that the refinement process is meaningful in the space of continuous paths, fields refine discontinuously. if you have a field whose average value on a lattice is something, it swings more wildly at small distances in dimensions higher than 2, so that in the limit, it defines a random distribution.

If you are allowed to pick at random, part of the battle is won. You get free field path-integrals in any dimension with absolutely no work (pick the Fourier components at random as Gaussian random numbers with a width which goes like the propagator). There is no issue with proving measurability, and the space of distributions you get out is just defined to be whatever space of distributions you get by doing the random picking. It's as simple as that. Really.

The remaining battle is just renormalization, at least for bosonic fields with CP invariant (real) actions, which have a stable vacuum, so that their Euclidean continuation has a probability interpretation. You need to define the stepwise approximations in such a way that their probability distribution function approaches a consistent limit at small refinements. This is slightly tricky, but it automatically defines the measure if you have a Solovay world. There is nobody working on field theory in Solovay models, but there are people who mock up what is more or less the same thing inside usual set theory by doing what is called "constructive measure theory". I don't think that one can navigate the complicated renormalization arguments unless one is allowed to construct measures using probability intuitions without fear, and without work. And set theorists know how to do this since 1970.

Answer 4

La respuesta es: olvídalo. :-) Actualmente, no hay una formalización matemática satisfactoria de la integral de camino.

Procedente de un fondo matemático yo mismo, me sorprendí igualmente por este estado de cosas. Pero he llegado a aceptarlo, principalmente debido a la siguiente observación histórica: durante varios siglos, las cantidades infinitesimales no tenían una formalización satisfactoria, pero eso no detuvo a los matemáticos de entender y utilizarlas. Ahora tenemos la bendición de los epsilon y deltas de Weierstraß, pero también es una maldición, ya que las cantidades infinitesimales desaparecieron también (excepto en el análisis no estándar). Yo diría que la integral de camino es una situación similar.

De todas formas, si aceptas la integral de camino como una "figura retórica", entonces hay formas de formalizarla hasta cierto punto. Es decir, puedes interpretarla como una "integración" del propagador, de la misma manera que la función exponencial es la solución de la ecuación diferencial $\dot y = Ay$. El propagador es la amplitud de probabilidad $$ U(r,t; r_0,t_0) $$ de encontrar una partícula en el lugar y tiempo $r,t$ cuando originalmente comenzó en el lugar y tiempo $r_0,t_0$. Es la solución general de la ecuación de Schrödinger

$$ i\hbar \frac{\partial}{\partial t}U(r,t; r_0,t_0) = \hat H(r,t) U(r,t; r_0,t_0), \quad U(r,t_0; r_0,t_0) = \delta(r-r_0) .$$

Ahora, elige un tiempo $t_1$ que se encuentre entre $t$ y $t_0$. La interpretación del propagador como amplitud de probabilidad hace evidente que también puedes obtenerlo integrando sobre todas las posiciones intermedias $r_1$.

$$ U(r,t; r_0,t_0) = \int dr_1 U(r,t; r_1,t_1)U(r_1,t_1; r_0,t_0) $$

Si repites ese procedimiento y divides el intervalo de tiempo $[t,t_0]$ en infinitas partes, integrando sobre todas las posibles posiciones intermedias, obtendrás la integral de camino.

Más detalles sobre esta construcción se pueden encontrar en Altland, Simons. Condensed Matter Field Theory.

Answer 5

Para la mecánica cuántica, realmente no hay nada poco riguroso sobre la integral de camino. Tienes que definirla en la firma euclidiana, pero así es como son las integrales oscilatorias. No tiene nada que ver con el hecho de que la integral de camino sea de dimensión infinita. Intenta insertar un conjunto de estados intermedios en el propagador $\langle q_f | e^{-iHt/\hbar}|q_i\rangle$ y obtendrás una integral que no es absolutamente convergente. Esta expresión está bien si la insertas dentro de un cálculo bien definido, por ejemplo, no uses funciones de onda singulares para tus estados iniciales y finales, pero si deseas que la expresión se mantenga por sí sola, debes proporcionar información adicional sobre la convergencia. Por lo general, lo que la gente hace es observar que el grupo unitario de traslaciones temporales es el límite imaginario de un semigrupo analítico. La parte real de este semigrupo, $e^{-H\tau}$, tiene una fórmula rigurosa de integral de camino; es el volumen de un conjunto cilíndrico. El volumen de un conjunto cilíndrico se calcula como el límite de integrales de camino con un corte de la forma $$\frac{1}{Z} \int_{F_{cutoff}} e^{-\frac{1}{\hbar} S_{effective}(\phi)} d\phi,$$ donde $d\phi$ es una medida de Lebesgue/Haar/lo que sea en el espacio de campos de corte de dimensión finita y $S_{effective}$ es una aproximación de corte/reja de la acción continua. Dada tal medida, bajo condiciones razonables, puedes continuar analíticamente las funciones de correlación desde la firma euclidiana de regreso a Minkowski.

Para registro: los matemáticos no están arrancándose los cabellos por estas cosas. Es genial. Lo entendemos. Nosotros, y con "nosotros" me refiero a un número relativamente pequeño de expertos, no necesariamente incluyéndome a mí, incluso podemos manejar la teoría de Yang-Mills de 4d en un volumen finito . (Lo difícil es probar hechos sobre el comportamiento de las funciones de correlación en el límite IR.)