Problema de convergencia en $\mathbb R^\infty$ con una determinada topología.

Question

El espacio es $\mathbb R^\infty$ se define como una unión (límite inductivo) de la cadena: $\mathbb R^1$ $\subset$ $\mathbb R^2$ $\subset$ $\mathbb R^3$ $\subset$ ...

El autor escribe $\mathbb R^\infty$ es el conjunto de secuencias $(x_1,x_2,\ldots)$ de números reales con sólo un número finito de números no nulos $x_i$ .

La topología en $\mathbb R^\infty$ está definida por la norma: Un conjunto F es cerrado si y sólo si todas las intersecciones F $\cap$ $\mathbb R^n$ se cierran en los espacios respectivos $\mathbb R^n$ .

Demuestre que la secuencia $(a_1,0,0,\ldots)$ , $(0,a_2,0,\ldots)$ , $(0,0,a_3,0,\ldots)$ , $\ldots$ $(0,\ldots,0,a_n,0,\ldots)$ , $\ldots$

tiene un límite si y sólo si tiene un número finito de términos no nulos.

He observado que si S es el conjunto de términos de la secuencia, S es cerrado en $\mathbb R^\infty$ ya que su intersección con cualquier $\mathbb R^n$ tiene un número finito de puntos. Así que el límite, si existe, debe ser de la forma L = $(0,\ldots,0,a_k,0,\ldots)$ para algún k.

Creo que puedo derivar una contradicción si asumo que la secuencia tiene infinitos puntos, y si puedo construir un conjunto abierto que contenga a L que no contenga infinitos términos, sin embargo no estoy seguro de cómo hacerlo, ya que los conjuntos abiertos que se me ocurren parecen todos grandes y poco útiles.

¿Es mi enfoque fructífero? No tengo mucha experiencia con espacios como $\mathbb R^\infty$ por lo que asumo que F $\cap$ $\mathbb R^n$ es el subconjunto de $\mathbb R^\infty$ obtenidos a partir de los elementos de F sustituyendo todas sus entradas después de la nª entrada por 0, y luego identificados con el subconjunto correspondiente de $\mathbb R^n$ .

Answer 1

Tienes razón en cuanto a la interpretación del último párrafo: la cadena de inclusiones funciona con el apéndice $0's$ : $\mathbb{R}^n$ como un subconjunto de $\mathbb{R}^\infty$ es $\{(x_n)_n \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}^+}: \forall i \ge n+1: x_i = 0\}\subset \mathbb{R}^\infty$ y obtiene su topología a través del obvio homeomorfismo con la habitual $\mathbb{R}^n$ (la proyección sobre el primer $n$ coordenadas).

También podemos definir la topología en $\mathbb{R}^\infty$ mediante conjuntos abiertos, (lo que se deduce directamente de la definición mediante conjuntos cerrados): $O \subseteq \mathbb{R}^\infty$ está abierto si $\forall n: O \cap \mathbb{R}^n$ está abierto en $\mathbb{R}^n$ . También es obvio que todos los mapas de proyección (que mapean una secuencia a una coordenada) son continuos (como lo son en todos los $\mathbb{R}^n$ ), por lo que la convergencia en $\mathbb{R}^\infty$ implica la convergencia en cada espacio de coordenadas.

Así pues, la secuencia considerada es efectivamente un conjunto cerrado (el conjunto de sus términos), como bien observas, ya que su intersección con cada $\mathbb{R}^n$ es finito (y por lo tanto cerrado allí). Pero para que converja, debe converger en cada espacio de coordenadas y allí cada secuencia es eventualmente constante $0$ por lo que el único límite candidato es la secuencia de todos los ceros, que por lo tanto debe estar en el conjunto de términos, por lo que algunos $a_n$ debe ser $0$ .

Yendo más allá, supongamos que hay infinitas veces un número distinto de cero $a_i$ para que existe un subconjunto infinito de índices $I$ tal que $i \in I$ si $x_i \neq 0$ . Entonces define el siguiente subconjunto:

$$O = \{(x_n) \in \mathbb{R}^\infty: \forall i \in I: x_i \in (-|a_i|, |a_{i}|), \forall n \notin I : x_n \in (-1,1)\}$$

Se trata de un producto de intervalos abiertos en cada $\mathbb{R}^n$ de ahí que se abra allí, y así $O$ es un conjunto abierto en $\mathbb{R}^\infty$ que contiene $0$ como vimos, el único límite candidato de la secuencia. Pero por construcción el conjunto $O$ no contiene ninguno de los términos de la secuencia con $a_i$ para un valor no nulo $a_i$ por lo que no puede contener todos los términos de la sucesión, salvo un número finito, y por tanto la sucesión no converge al único candidato $0$ por lo que no converge en absoluto.

Lo contrario es trivial: si, efectivamente, todos menos un número finito de $a_i$ son $0$ la secuencia converge a $0$ .