Pullbacks de homotopía y pushouts de homotopía

Question

Tengo un buen conocimiento de los pullbacks y pushouts ordinarios; en particular, hay muchas construcciones categóricas que pueden verse como casos especiales: por ejemplo, igualadores/coigualadores, kernerls/cokernels, productos binarios/coproductos, preimágenes,...

Conozco la (¿?) definición de pullbacks/pushouts de homotopía, pero me faltan dos cosas: ejemplos e intuición. Así que aquí están mis preguntas:

1. ¿Cuáles son los ejemplos canónicos de pullbacks/pushouts de homotopía? Por ejemplo, en la categoría de espacios topológicos puntuales el espacio de bucles $\Omega X$ es un pullback homotópico del mapa $\ast \to X$ a lo largo de sí mismo.
2. ¿Cómo debo pensar en los pullbacks/pushouts de homotopía? ¿Cuál es la intuición detrás del concepto?

Answer 1

Se puede pensar en el pushout de dos mapas f : A → B, g : A → C en Set como el cálculo de la unión disjunta de B y C con una identificación f(a) = g(a) para cada elemento a de A. Podríamos imaginar la formación de esto como el cociente por una relación de equivalencia, o pegando en un segmento que une f(a) a g(a) para cada a, y tomando π ₀ del espacio resultante. Si dos elementos a, a' de A satisfacen f(a) = f(a') y g(a) = g(a'), el pushout no se ve afectado por la eliminación de a' de A. El pushout de homotopía se forma pegando un segmento que une f(a) con g(a) para cada a y no olvidando el número de formas en que se identifican dos elementos de B ∐ C; en su lugar tomamos el espacio completo como resultado. Es la versión "derivada" del pushout.

En general se puede pensar en el empuje homotópico de A → B, A → C como la cosa "libre" generada por B y C con "relaciones" procedentes de A. Pero es importante que las "relaciones" se impongan exactamente una vez, ya que en el entorno homotópico/derivado llevamos la cuenta de tales cosas (y tenemos "relaciones entre relaciones", etc.)

Otro ejemplo, posiblemente más conocido: En una categoría derivada, el cono de mapeo de un morfismo f : A → B es el pushout homotópico de f y el mapa cero A → 0. Esto depende ciertamente de A, incluso cuando B es el objeto cero: es la suspensión de A.

Answer 2

He aquí un ejemplo geométrico sencillo para un empuje de homotopía. Está sacado del artículo de Dwyer-Spalinski sobre categorías de modelos.

Primero miramos el siguiente diagrama: pt <-- S^1 --> pt. El empuje de este diamante es sólo un punto.

Ahora mira D^2 <-- S^1 --> D^2 donde los mapas son la inclusión en la frontera. El pushout de este diagrama es S^2.

Lo que se observa es que el punto y D^2 tienen el mismo tipo de homotopía, ¡pero los empujes de los dos diagramas tienen diferentes tipos de homotopía! Así que los pushouts ordinarios no van bien con la teoría de la homotopía.

Lo correcto es sustituir siempre los mapas por cofibraciones antes de calcular los empujes. Esto es precisamente lo que hace el pushout de homotopía.

Sustituir los mapas por cofibraciones antes de calcular los empujes no es sólo filosofía, sino un teorema. Si quieres hacer las cosas correctamente deberías poner una estructura de categoría de modelos en la categoría de diagramas tal que el funtor constante preserve las fibraciones y las fibraciones triviales y luego tomar el funtor colímite derivado. Como tienes una estructura de categoría de modelos sobre la categoría de diagramas, ¡reemplazas los diagramas cofibrantemente! Si se resuelven todos los detalles se obtiene que reemplazar un diagrama significa exactamente reemplazar los mapas por cofibraciones antes de tomar el pushout.

Answer 3

Para (2): son la modificación necesaria de las no homotípicas cuando se quiere que el resultado cambie sólo por una equivalencia de homotopía si se cambia la entrada a la construcción por equivalencias de homotopía.

Más tarde: Mi intuición viene de la siguiente imagen: digamos que tienes un espacio $X$ en el que $\mathbb Z$ actúa, y quieres tomar el cociente. Yo veo la versión homotópica como el resultado de tachuelas las órbitas: se adjunta un hilo (una copia de $\mathbb R$ ) a cada órbita... Si luego quieres tomar el cociente "real", sólo tienes que tirar de los hilos, y las órbitas se contraen a un punto (¡ya sé que hace un ruido raro cuando haces esto!). Cuando tomas cocientes de homotopía por otro grupo $G$ necesitas conseguirte un " $G$ -hilo con forma", que es lo que escribimos $EG$ .

Answer 4

Una lista de definiciones, fórmulas generales y tipos de ejemplos se encuentra en nLab: límite de homotopía .

En particular, hay toda una subsección sobre pullbacks de homotopía .

El material estrechamente relacionado (más ejemplos, si lo desea) se encuentra en secuencia de fibración .

Answer 5

Los pullbacks y pushouts de homotopía no son muy similares a los pullbacks y pushouts de la categoría de espacios topológicos. Son esencialmente construcciones con propiedades muy agradables. El ejemplo más canónico para el pullback de homotopía es cuando uno de los mapas es una fibración, ya que en este sentido el pullback ordinario y los pullbacks de homotopía coinciden. Hay que pensar en ellos como una forma diferente de construir algunos ejemplos agradables, es decir, los espacios de bucle, o la suspensión o la unión. Estas áreas de las matemáticas en las que las veo están en la categoría de cálculo de espacios LS. Surgen en los invariantes de Hopf-Ganea, o la secuencia EHP, estas son algunas aplicaciones agradables de los pullbacks y pushouts de homotopía. El documento "Pullbacks In Homotopy Theory" de Micheal Mather es el mejor lugar para buscar más información, es el documento original, pero también está escrito casi como un libro de texto que hace que sea fácil de entender para un joven topólogo algebraico.

1. Los ejemplos canónicos son los casos en los que se tiene una fibración o cofibración y se quiere hacer un pullback o un pushout a lo largo de otro mapa.

2. La intuición es pensar en ello como una nueva construcción que puede utilizarse para pensar en suspensiones, o espacios de bucles, uniones y que se relaciona con esos conceptos de una manera más universal, además de gozar de algunas propiedades muy agradables. La intuición para mí es que necesitamos estos conceptos para demostrar resultados necesarios en el cálculo de la categoría LS de un espacio topológico, un invariante de homotopía. Pues bien, ¡ahí es donde me ayudaron en mi investigación!

No me gustan mucho las otras respuestas aquí porque se refieren a categorías más abstractas, esta es la intuición porque la teoría de categorías vino de la topología algebraica y este es el escenario original para hablar de pushouts y pullbacks de homotopía. Siempre que consideremos un nuevo concepto en la teoría de categorías, volvamos a la topología algebraica ya que el concepto probablemente vino de aquí.