Los antecedentes son los siguientes: Últimamente he estado desgranando mis apuntes de álgebra conmutativa (o, más bien, del propio álgebra conmutativa, supongo) con motivo de un curso que impartiré próximamente.
Acabo de insertar el enunciado del teorema de que el anillo ¯Z de todos los enteros algebraicos es un dominio de Bezout (es decir, todos los ideales finitamente generados son principales; nótese que este anillo está muy lejos de ser noetheriano). En realidad, no recuerdo quién fue el primero en demostrar este resultado y me encantaría aprender, aunque esa no es mi pregunta principal aquí . La referencia que se me queda grabada es el texto de Kaplansky de 1970 Anillos conmutativos donde demuestra la siguiente bonita generalización:
Teorema: Sea R sea un dominio Dedekind con campo de fracciones K y el cierre algebraico ¯K . Supongamos que para cada subextensión finita L de ¯K/K el grupo de clase ideal de la clausura integral RL de R en L es un grupo abeliano de torsión. Entonces el cierre integral S de R en ¯K es un dominio de Bezout.
Genial, ¿eh? Luego, cuando llegué a deducir el resultado sobre ¯Z me di cuenta: en ninguna parte de estos notas verifico que Z satisface las hipótesis del teorema de Kaplansky, a saber, que el grupo de clase ideal del anillo de enteros de un campo numérico es siempre finito.
No me malinterpretes: no esperaba nada diferente, de hecho no conozco ningún texto de álgebra conmutativa que demuestre este resultado. De hecho, generalmente se sostiene que la finitud del número de clase es uno de los primeros resultados de la teoría algebraica de números que es verdaderamente de naturaleza teórica de números y no parte del estudio general de los anillos conmutativos. Pero la verdad es que hace tiempo que me eriza la piel este estado de cosas: Me gustaría mucho que existiera una subrama de las matemáticas llamada "teoría algebraica abstracta de los números" que demostrara resultados "generales" como éste. (Mis razones para esto son, hasta donde puedo recordar en este momento, puramente psicológicas y estéticas: no tengo ningún motivo ulterior específico aquí, por desgracia). Para ver pruebas anteriores de mi coqueteo con estas cuestiones, véase esta pregunta anterior de MO (que no tiene una respuesta aceptada) y estas otras notas mías (que en realidad no se ponen en marcha ni establecen nada emocionante).
Así que déjame intentarlo una vez más:
¿Existe una prueba puramente algebraica de la finitud del número de clase?
Desgraciadamente no sé exactamente a qué me refiero aquí, porque las pruebas estándar que uno encuentra en los textos de teoría algebraica de números son ciertamente de naturaleza "puramente algebraica" o pueden hacerse así. (Por ejemplo, es bien sabido que es conveniente pero no necesario utilizar la geometría de los números -- las pruebas originales de este resultado de finitud son anteriores al trabajo de Minkowski). He aquí algunos criterios:
1) Quiero una condición general --o "estructural"-- sobre un dominio Dedekind que implique la finitud de su grupo de clases. (En mi pregunta anterior, pregunté si la finitud de los anillos de residuos era una condición de este tipo. Todavía no sé la respuesta a eso).
2) Esta condición debe aplicarse en particular a los anillos de enteros de campos numéricos y también a los anillos de coordenadas de curvas afines regulares e integrales sobre campos finitos.
Nótese que ya las "pruebas puramente algebraicas" estándar de la finitud del número de clase en el caso del campo de números no proceden de hecho por un método general que también funciona textualmente en el caso del campo de funciones: normalmente se requieren argumentos adicionales. (Véase, por ejemplo, la obra de Dino Lorenzini Invitación a la geometría aritmética .) En cuanto a la unidad campo de números / campo de funciones, la mejor aproximación que conozco es la adánica: El lema de Fujisaki, que es el teorema 1.1 ici (véase también el teorema de la última página). Pero se trata de un argumento topológico, y las propiedades topológicas y de teoría de la valoración de los campos globales que entran en él son bastante particulares de los campos globales: Conozco (vagamente) los resultados de Artin-Whaples que caracterizan a los campos globales como los que tienen estas buenas propiedades: la fórmula del producto, etc.
Es posible que lo que busco simplemente no exista. Si crees que entiendes por qué la finitud del número de clase es de alguna manera precisa aritmética en lugar de algebraica en la naturaleza, por favor, ¡explícamelo!
Añadido En este caso, se trata de otras reflexiones que podrían ser relevantes.
Me gusta pensar en tres teoremas básicos de la teoría algebraica de los números como si fueran de una clase ("los tres teoremas de finitud"):
(i) ZK es un dominio Dedekind generado finitamente como Z -módulo.
(ii) PicZK es finito.
(iii) Z×K se genera finitamente como un Z -módulo.
[Sí, también hay un cuarto teorema de finitud debido a Hermite, sobre la ramificación restringida, que quizás sea el más importante de todos].
El primero de ellos me parece aceptablemente "puramente algebraico": es un resultado sobre la toma de la normalización de un dominio Dedekind en una extensión de campo finito. El mérito del enfoque adélico es que muestra que (ii) y (iii) están estrechamente interrelacionados: la conjunción de ambos es formalmente equivalente a la compacidad del grupo de clases de ídem norma uno. Así que quizás sea un error fijarse en las condiciones que sólo aseguran la finitud del grupo de clases. Por ejemplo, la clase de dominios Dedekind con grupo de clases finito es cerrada bajo localización, pero la clase de dominios Dedekind que también tienen grupo unitario finitamente generado no lo es. Sin embargo, los "dominios de Hasse", es decir S -anillos enteros de campos globales- sí tienen estas dos propiedades.
