Ecuaciones diferenciales ordinarias cuya solución tiene discontinuidades de salto infinito en su intervalo de existencia

Question

Estoy empezando a aprender ecuaciones diferenciales ordinarias. Mi pregunta:

Deja : $t \in \mathbb{R}$ , $x_0 \in \mathbb{R}$ ,

Dejemos que $f:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}: (t,x) \mapsto f(t,x)$ .

Dejemos que $x:I \rightarrow \mathbb{R}:t \mapsto x(t)$ , donde $I \subseteq \mathbb{R}$ es el intervalo máximo de existencia tal que la solución del siguiente problema de valor inicial de ecuación diferencial ordinaria:

$\frac{d}{dt}x = f(t,x), x(0)=x_0$

existe y es único en $I$ (bien planteado en el sentido de Hadamard).

¿Es posible que la solución $x$ tiene discontinuidades de saltos infinitos?

Cualquier comentario, retroalimentación o aportación es bienvenida. Gracias de antemano.

Nota: He eliminado $d$ para que las cosas queden más claras.

Answer 1

Cualquier solución $t\mapsto x(t)$ de la ODE $\dot x=f(t,x)$ lleva consigo una intervalo de solución $I$ (tú mismo lo dices) tal que para todo $t\in I$ tenemos $\dot x(t)=f(t,x(t))$ . En particular, la función $x(\cdot)$ es continua en $I$ , por lo que no hay lugar para una discontinuidad de salto.

Ahora bien, ¿qué pasa con la ecuación diferencial $\dot x= 1+x^2\ $ ? Cuando un punto inicial $(t_0,x_0)$ es dado hay un único $\alpha_0\in\bigl]-{\pi\over2},{\pi\over2}\bigr[\ $ tal que $\tan\alpha_0=x_0$ y es fácil comprobar que $$x(t)\ :=\ \tan(t-t_0+\alpha_0)$$ satisface la ecuación diferencial en algún $t$ -intervalo $I$ que contiene $t_0$ así como la condición inicial dada. Para determinar $I$ tenemos que asegurarnos de que $$-{\pi\over 2}<t- t_0+\alpha_0 <{\pi\over2}\ ,$$ de lo que deducimos $I=\ \bigl]t_0-(\alpha_0+{\pi\over2}),\ t_0+({\pi\over2}-\alpha_0)\bigr[\ $ .

Que el gráfico completo de la $\tan$ -función consiste en infinitas curvas (disjuntas) de este tipo es otra cuestión y no debería preocuparnos aquí.