Confusión sobre las notas de la teoría del modelo

Question

En la página 8 de http://www.msri.org/publications/books/Book39/files/marker.pdf el autor escribe $\Gamma(\bar{d})$ cuando $\Gamma$ es, en primer lugar, un conjunto de fórmulas (no una sola), y es una fórmula que tiene variables, no constantes. Esto no tiene sentido. ¿Y qué quiere decir con $T+\Gamma(\bar{d})$ ? Esto tendría que significar que estamos trabajando en un lenguaje diferente. ¿Y por qué implica hechos sobre $\psi_i(\bar{v})$ cuando tenemos $\bar{d}$ es decir, un conjunto de constantes, en lugar de variables, cuando $\bar{v}$ es un conjunto de variables, no un conjunto de constantes?

Del mismo modo, en la prueba de la "RECLAMACIÓN", en la frase que comienza "Si $\Sigma$ es inconsistente...", ¿cómo podemos pasar de $\psi_1(\bar{d})$ a $\psi_1(\bar{v})$ ? Uno toma constantes, el otro toma variables.

Answer 1

Creo que dadas las preguntas de David en los comentarios tras la respuesta inicial anterior, una explicación más informal podría ayudar algo. No hay que pensar necesariamente en añadir constantes al lenguaje como se ha comentado anteriormente.

Una forma de pensar que puede ayudar es la siguiente: en la notación anterior, pensemos en $\bar d$ como una tupla de variables. Entonces $\Gamma (\bar d)$ es simplemente una colección de fórmulas donde las variables libres provienen de los elementos de la tupla $\bar d$ . Otra forma de pensar en la afirmación anterior es:

$$T \vdash \Gamma (\bar d) \rightarrow \phi(\bar d).$$

Si te sientes incómodo con el proceso de cambio de idioma (y creo que tal vez esto sólo toma algún tiempo para acostumbrarse), espero que esto ayude.

Answer 2

La notación $\Gamma(\bar d)$ significa que para cada fórmula $\psi(\bar v)\in\Gamma(\bar v)$ sustituimos $\bar d$ para $\bar v$ . El conjunto $T+\Gamma(\bar d)$ es sólo la unión $T\cup\Gamma(\bar d)$ .

El intercambio de variables $\bar v$ y las constantes $\bar d$ en la prueba proviene del hecho de que las constantes $\bar d$ son nuevas constantes que no aparecen en $T$ . Así, por ejemplo, si $T\models \phi(\bar d)$ entonces también $T\models\forall \bar v (\phi(\bar v))$ .