¿Qué ocurre cuando una pelota deja de botar?

Question

Si dejo caer una pelota que rebota sobre una superficie, cada rebote sucesivo será de menor altura a medida que se disipa la energía. Sin embargo, al final la pelota dejará de rebotar y permanecerá en contacto con el suelo. ¿Qué sucede durante ese pequeño momento de tiempo que es el periodo de transición?

Esta es mi línea de pensamiento hasta ahora:

Digamos, por ejemplo, que la pelota puede ser modelada como una pelota de rebote "ideal". Cada vez que golpea el suelo, rebota con la mitad de la velocidad de impacto, y la otra mitad es absorbida y disipada por diversas cosas. ¿Dejará alguna vez de rebotar esta pelota ideal? La respuesta, hasta donde yo sé, es que sí (bueno, tal vez ). Como cada rebote tiene la mitad de la velocidad inicial del rebote anterior, el tiempo entre cada rebote también se reduce a la mitad. El primer rebote puede durar $1$ segundo, el segundo toma $0.5$ segundos, el tercero $0.25$ segundos, etc. Esta serie infinita converge a un tiempo finito, pero con un número infinito de rebotes.

Como obviamente no es posible que una pelota real rebote un número infinito de veces en un tiempo finito, está claro que el modelo anterior no funciona. Finalmente, decidí que el problema debe estar en el hecho de que el modelo no tiene en cuenta que la pelota pasa tiempo comprimiéndose y descomprimiéndose mientras está en contacto con el suelo.

Incluso una vez que el balón toca el suelo, el centro de gravedad continúa moviéndose hacia abajo mientras el balón se comprime. Pronto, la pelota se expande y el centro de gravedad se mueve hacia arriba. Permite $h_1$ sea la altura del centro de gravedad cuando la pelota está sin comprimir, y $h_2$ la altura del centro de gravedad de la bola cuando se comprime, y $D = h_1 - h_2$ . Finalmente, la altura del rebote será menor que $D$ Así que el centro de gravedad simplemente vibra entre esos dos lugares, y la pelota nunca sale del suelo.

Answer 1

Si la pelota y la superficie son cuerpos rígidos ideales, entonces simplemente rebotaría un número infinito de veces en un periodo de tiempo finito, como dices. No hay ningún problema con eso. (Aunque la "media velocidad" implica sqrt(half) tiempo para el rebote sucesivo - pero todavía nos da una serie geométrica). He aquí un análisis completo .

Para una pelota real, depende de lo que se entienda por "rebote". Para mí, los rebotes son aquellas cosas separadas por mínimos locales en la energía potencial gravitatoria de la pelota, o, de forma equivalente, por mínimos locales en la altura del centro de masa de la pelota.

En este sentido, la pelota está botando a un mínimo ("piso de energía") más bajo de lo que botaría una pelota ideal, y está en contacto con el piso durante una parte de su rebote. Además, el mínimo ("piso de energía") al que rebota la pelota va aumentando gradualmente a medida que la pelota se comprime menos en cada rebote sucesivo. Sin embargo, la asíntota a la que converge este "piso de energía" es inferior a la de una pelota ideal porque la pelota se comprime ligeramente por su propio peso incluso cuando no bota. La diferencia (no nula) entre esta asíntota y la de una pelota ideal constituye un umbral (llamémoslo "energía de escape") que debe alcanzar la pelota para perder el contacto con el suelo.

Inicialmente, la pelota pasaría la mayor parte del tiempo en caída libre, aproximándose al comportamiento de Zenón ya descrito. Sin embargo, una vez que la energía de rebote disminuye por debajo de la "energía de escape" definida anteriormente, ya no es suficiente para elevar el centro de masa de la pelota por encima de su radio natural, por lo que la pelota ya no pierde el contacto con el suelo, sino que simplemente se balancea hacia arriba y hacia abajo en el sentido del centro de masa. Durante este régimen, creo que el sistema muestra un comportamiento dinámico de segundo orden (o al menos linealizable), como una masa asentada sobre un muelle, ya que la fuerza correctora es ahora proporcional al desplazamiento en la vecindad infinitesimal del equilibrio.

Ahora bien, cualquier sistema linealizable a un sistema de segundo orden (como un péndulo) nunca deja de oscilar porque su período converge a alguna constante no nula. Simplemente oscila cada vez menos, pero nunca deja de oscilar. Lo mismo ocurre con la pelota. El "balanceo" decae exponencialmente a lo largo de un infinito tiempo o hasta que otras perturbaciones, como los impactos de las moléculas de aire, ahoguen el movimiento.

EDIT: No había leído bien tu pregunta antes de saltar y ahora veo que decías más o menos lo mismo. Oh, bueno supongo que lo dejaré en el aire.

Answer 2

Existe un umbral por debajo del cual la pelota no rebota, determinado por la masa de la pelota y la aceleración gravitacional (fuerza de gravedad sobre la pelota, en otras palabras)

Para que la pelota rebote (es decir, para que pierda físicamente el contacto con la superficie del suelo) la fuerza de compresión creada por el impulso del impacto (el punto en el que la velocidad es hacia abajo pero la aceleración hacia arriba hasta que la pelota alcanza su punto de máxima deformación y la velocidad es 0) debe superar la fuerza de la gravedad sobre la pelota, por lo que ésta seguirá rebotando mientras se cumpla esta condición.

Sin embargo, una vez alcanzado el punto en el que la pelota alcanza la máxima deformación pero es incapaz de acelerar hacia arriba por encima de la gravedad, dejará de rebotar. Toda la energía que se libere posteriormente será de otras formas (deformación, vibración, etc.), por lo que no es exactamente como un péndulo, ni es un escenario perfecto de la paradoja de Zenón.

Answer 3

No hay contradicción, porque después de algún tiempo, el período de cada rebote tiende a cero, y en consecuencia la frecuencia de los saltos tiende a infinito. Esto se puede comprobar fácilmente cuando se deja caer una pelota parcialmente inelástica: a medida que pasa más tiempo la pelota rebota cada vez más rápido a una altura cada vez menor, hasta que ya no se percibe el movimiento (pero existe ya que el tiempo es menor que el límite de la suma infinita, con frecuencia y amplitud al infinito tiende a cero). Así que matemáticamente es posible hacer rebotar la pelota infinitas veces en un tiempo finito. Después de un tiempo igual al límite de la serie infinita, la pelota debe parar. Hasta entonces y perdón por el inglés ... Todavía estoy aprendiendo. Espero que esto ayude.