La comprensión de los Musicales Isomorphisms en Espacios Vectoriales

Question

Estoy tratando de solidificar mi comprensión de la muscial isomorphisms en el contexto de espacios vectoriales. Creo que entiendo las definiciones, pero agradecería correcciones si mi interpretación no es correcta. También, como he tenido un poco de dificultad en el seguimiento abajo relacionados con el material, me daría la bienvenida a cualquier sugirió referencias que se expanda sobre este material y sus resultados.

Por lo tanto, vamos a $V$ ser finito-dimensional espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ con producto interior $\langle \cdot, \cdot \rangle$ y deje $V^*$ denotar su doble. Para cada elemento $v \in V$, se puede definir un mapeo $V \rightarrow V^*$$v \mapsto \langle \cdot, v \rangle$. Por la representación de Riesz teorema de esta asignación en realidad determina un isomorfismo que nos permite identificar cada elemento en $V$ con un funcional único en $V^*$ de La "plana" operador $\flat$ está definido por $v^{\flat}(u) = \langle u , v \rangle$ todos los $u \in V$ y es así sólo el Riesz isomorfismo en la dirección $V \rightarrow V^*$ como se define arriba. Por otro lado, dado un funcional lineal $f_v \in V^*$, sabemos que no existe una única $v \in V$ tal que $f_v(u) = \langle u , v \rangle$ todos los $u \in V$ y el "fuerte" operador $\sharp$ está definido por $f_v^{\sharp} = v$, y representa la otra dirección de la Riesz isomorfismo.

Es este entendimiento correcto? ¿Alguien puede proporcionar una referencia a algunos ejemplos/ejercicios que explorar estos operadores en una forma concreta? La página de Wikipedia sobre el tema no es de mucha ayuda.

Actualización: estoy agregando una recompensa a esta pregunta con la esperanza de que alguien va a ser capaz de proporcionar ejemplos y ejercicios (o referencias a tales) que ilustran el uso de la música en isomorphisms en el contexto de espacios vectoriales.

Answer 1

"Musical isomorfismo" suena como "teoría de la catástrofe". Pero, de la ironía a un lado, lo que piensa y escribe, es absolutamente correcto. (Un punto menor: no es "un funcional $f_v\in V^*$", pero se le da un funcional $f\in V^*$, y el isomorfismo en cuestión garantiza la existencia de un único $v\in V$ tal que $f(u)=\langle v,u\rangle$ todos los $u\in V$.)

Ahora parece que no se puede hacer la conexión con la página de la Wikipedia sobre el "musical de isomorfismo". Esto tiene que ver con la forma en que un producto escalar ha de ser codificada cuando la base no es ortonormales para empezar. En este sentido, se puede decir lo siguiente:

Si $V$ es un verdadero vector de espacio que se proporciona con el producto por un escalar $\langle\cdot,\cdot\rangle$, y si $(e_1,\ldots,e_n)$ es arbitraria (es decir, no necesariamente ortonormales) base de $V$ (a) cualquier vector $x\in V$ es representado por un $(n\times 1)$ vector columna $x\in{\mathbb R}^n$ tal que $x=\sum_{k=1}^n x_k\> e_k$, y (b) existe una matriz $G=[g_{ik}]$ tal que $$\langle x,y\rangle \ =\ x'\> G \> y\qquad \forall x,\forall y\ .$$ Esto implica que el funcional $v^\flat$ aparece en el formulario $$v^\flat(u)=\langle v,u\rangle=v'\> G\> u\ .$$ Poner a $\sum_{i=1}^n v_i g_{ik}=: \bar v_k$ por lo tanto, ha $$v^\flat(u)=\sum_{k=1}^n \bar v_k\> u_k\ ,$$ de modo que uno puede interpretar los coeficientes de $\bar v_k$ "coordenadas" de la funcional $v^\flat$.

Consideraciones similares se aplican para el operador $\sharp$, e ir a través de los movimientos que uno encuentra que la inversa de la matriz $G$ entra en juego. Los detalles son como sigue: Un dado funcional $f\in V^*$ aparece "coordinatewise" como $$f(u)\ =\ \sum_{k=1}^n f_k u_k\quad (u\in V)\ ,$$ donde el coeficiente de vectores $f=(f_1,\ldots, f_n)$ es un verdadero $n$-tupla. Ahora usted desea representar a $f$ mediante el producto escalar como vectorial $f^\sharp\in V$, de la siguiente manera: se debe tener $$f(u)=\langle f^\sharp, u\rangle\qquad \forall u\in V\ ,$$ que en términos de la matriz de productos de medios $$f'\> u\ =\ (f^\sharp)'\> G\>u\qquad\forall u\in{\mathbb R}^n$$ o $$f^\sharp =G^{-1}\>f\ $$ (note that the matrix $G$ is symmetric). This formula gives you the coordinates of $f^\sharp$ with respect to the basis $(e_1,\ldots,e_n)$.

En los viejos libros que usted lee acerca de los "colectivos" y "contravariante" coordenadas de uno y el mismo vector (o funcional) $v$ resp. $f$.

Answer 2

Yo compleja geometría diferencial, así que para mí estas cosas de pop-up en el contexto de finito dimensionales de álgebra lineal. Me ocuparé de tu pregunta en esos términos.

Para las referencias, he beneficiado mucho de Lee de Riemann Colectores y Coffman del Seguimiento, de la métrica y de la realidad, que es un libro sorprendente, que habla de estas cosas en un coordinar de manera libre, que es casi esencial para la comprensión de lo que está pasando.

Por lo tanto, echemos un número finito de dimensiones reales espacio vectorial $V$, y equipar con un producto interior $g$. Aquí $g(u,v) = \langle u, v \rangle$ en su notación.

Cada espacio vectorial $V$ es canónicamente isomorfo a su doble doble de la $V^{**}$, pero no a su doble $V^*$. Así, si queremos para el transporte de los vectores de $V$ $V^*$(queremos hacer esto mucho, sólo tenga en cuenta que la transpuesta de un vector es un elemento de la doble espacio) tenemos que elegir un isomorfismo $V \to V^*$.

El producto interior $g$ es exactamente la elección de un isomorfismo. Más precisamente, dado $u$ $V$ lo enviamos a la forma lineal $v \mapsto g(u,v)$. También podría haber enviado a $u$ a de la forma lineal $v \mapsto g(v,u)$, pero como $g$ es simétrica, esto da la misma forma.

Supongamos ahora que tenemos un espacio vectorial de la forma $V^{\otimes p} \otimes V^{*\otimes q}$. Un elemento de este espacio es a menudo llamado un $(p,q)$ tensor. Elija uno de los espacios de $V$, dicen que la primera. A continuación, el producto interior $g$ induce un isomorfismo $V^{\otimes p} \otimes V^{*\otimes q} \to V^{\otimes p-1} \otimes V^{*\otimes q+1}$. En la literatura, en este mapa se llama "bajar el índice", o, en notación musical, el "plano" del mapa.

El clásico "levantamiento de índice", o el "fuerte" del mapa, ahora es simplemente la inversa de la isomorfismo $V \to V^*$$g$. Como estamos trabajando sobre finito dimensionales espacios, por lo que el $V^{**} = V$, que coincide con el doble producto interior $V^* \to V^{**} = V$.

Esto está lejos de ser (sólo) resumen tonterías. Como un ejemplo, este punto de vista se aclara inmensamente la definición de positivo el carácter definitivo de una matriz de $A$. Recordemos que una matriz $A$ (en la base canónica de $\mathbb R^n$) es positiva definida si ${}^t u A u > 0$ para todos los vectores no nulos $u$. Recordando que tenemos la norma de producto interior en $\mathbb R^n$, re-interpretar esta condición, como diciendo que $\langle Au, u \rangle > 0$ para todos los vectores $u$.

Pero ahora es inmediatamente claro que esta propiedad depende de la elección de un producto interior, y no de base. Por lo tanto, vamos a $g$ ser un producto interior en $V$. Entonces decimos que un lineal de morfismos $f : V \to V$ $g$- positiva definida si la forma bilineal (es decir, el mapa $V \to V^*$) $g \circ f$ es positiva definida, en el sentido de que $g \circ f (u,u) = g(f(u),u) > 0$ para todos los no-cero $u$. Esto, sin embargo, no necesariamente la misma condición como el establecimiento $g \circ f(u,u) = g(u,f(u))$.

Para evitar esto, tenga en cuenta que normalmente sólo hablamos de positivo-definición de matrices simétricas $A$. Esta matriz representa un lineal mapa de $f : V \to V$, o en otras palabras, un elemento de $V^* \otimes V$. Este último espacio es auto-dual, por lo $f^*$ es de nuevo un lineal mapa de $V \to V$. Diciendo que $A$ es simétrica exactamente significa que $f^* = f$. Ahora somos libres para definir un $g$-positivo-definida lineal mapa de $f : V \to V$ como un mapa simétrico como el anterior.

Como otro ejemplo, este punto de vista clara de lo que "traza con respecto a una métrica" en realidad significa. (Sugerencia: El rastro de un lineal mapa es invariante de la base, y tiene nada que ver con un producto interior. Una 2-forma, sin embargo, que es algo más. Si sólo hay una manera de convertir una 2-forma en un lineal mapa).

Answer 3

Mi copia de Spivak es en el almacenamiento, por desgracia, pero creo que él describe en su Completa Introducción a la Geometría Diferencial (volumen 1, probablemente). Yo también supongo que Boothby explica en su introducción a la diferenciable colectores, pero estoy de nuevo no estoy seguro. Estoy casi seguro de que Ésta tiene un gran ejercicio de trabajo a través de mostrar que este isomorfismo no es canónica.

Como lo que puedo decir, esta pregunta demuestra que hasta en tres lugares. La primera es en el espacio de Hilbert de la teoría, donde Willie Wong observación es importante, en particular, se termina con algunas diferencias entre el espacio de Banach adjunto de un operador y el espacio de Hilbert adjunto. Este me cogió por sorpresa cuando estudié esto. Reed & Simon, el Análisis Funcional, volumen 1, tiene una discusión de esto.

El segundo contexto que he visto en esta, es en la geometría de Riemann. Aquí, usted termina con un isomorfismo entre la TM y T^*M inducida por la métrica. El tercer contexto es en geometría simpléctica, donde la forma simpléctica induce a este isomorfismo (no se llama un musical isomorfismo). Este es uno de los casos cubiertos por Willie Wong segundo comentario. (Es de suponer que también esto se muestra en de Lorenz de la geometría, pero nunca los he estudiado, que a mí mismo.)

Este isomorfismo inducida por la métrica es muy importante en la geometría de Riemann-que es lo que le permite hacer la "subida y bajada de los índices". Esta es la razón por la geometría de Riemann libros suelen tener discusiones de estos isomorphisms.

Otra posible fuente para una discusión de este es en Wendl notas sobre las conexiones, el Apéndice A. http://www.homepages.ucl.ac.uk/~ucahcwe/connections.html

Si hay problemas, no creo que ninguno de estos le dan problemas. Sin embargo, creo que hay algunas cosas simples que usted puede calcular directamente que vale la pena jugar con.

Deje $V$ $n$- dimensiones reales espacio vectorial con un producto interior.
Elegir una base y usar esto para identificar a $V$$\mathbb{R}^n$. El uso de la base dual para identificar a $V^*$$\mathbb{R}^n$.

(a) demostrar que el producto interior donde se convierte en <,> indica el estándar de producto interior en $\mathbb{R}^n$, e $A$ es una matriz. Espectáculo $A$ es positiva definida y simétrica. También muestran que cualquier simétrica positiva definida la matriz induce un producto interior en $V$. (b) ¿qué significa el "musical" isomorfismo inducida por el producto interior verse como un mapa de $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$, el uso de la isomorphisms a $V$ $V^*$ dado por la base dual de la base de isomorphisms? (c) ¿Cómo estas isomorphisms transformar si se cambia de base para $V$ (y por tanto de cambio de base dual para $V^*$)? (d) ¿qué tal si usted toma arbitraria de base para $V$$V^*$? (es decir, no necesariamente dual bases) (e) consideremos Ahora cómo representar un lineal mapa de $W \to V$ e de $V \to W$, compuesto/precompuesta musical con la isomorfismo.
(f) El musical isomorfismo le permite poner un producto interior en $V^*$. ¿Qué hace su correspondiente auto-adjunto positiva definida la matriz?

La mayoría de estos son en realidad redundante, pero una vez que has jugueteó con esto, creo que se entiende el concepto de una mucho mejor. Yo no creo que sea el musical isomorfismo que usted no entiende, pero la no canónica de la naturaleza de la isomorfismo entre el$V$$V^*$.