Cardenales inaccesibles y la prueba de Andrew Wiles

Question

En un número reciente de New Scientist (16 de agosto de 2010), me sorprendió leer que una parte de la prueba de Wiles de la conjetura Taniyama-Shimura se basa en cardinales inaccesibles.

Aquí está el artículo

• Richard Elwes, Hasta el infinito y más allá: La lucha por salvar la aritmética , New Scientist, agosto de 2010.

Aquí está la parte relevante del artículo:

"Los grandes cardinales han sido estudiados por los lógicos durante un siglo, pero su intangibilidad significa que rara vez han aparecido en la corriente principal de las matemáticas. Una notable excepción es el resultado más célebre de los últimos años, la demostración del último teorema de Fermat por el matemático británico Andrew Wiles en 1994 [...] Para completar su demostración, Wiles asumió la existencia de un tipo de cardinal grande conocido como cardinal inaccesible, que técnicamente sobrepasa los límites de la aritmética convencional"

¿Es esto cierto? Si es así, ¿podría alguien explicar cómo se utilizan?

Answer 1

El argumento básico aquí es que el trabajo de Wiles utiliza la cohomología de gavillas en ciertas topologías de Grothendieck, cuya teoría general fue desarrollada por primera vez en el SGAIV de Grothendieck y que requiere la existencia de una El universo Grothendieck . Desde entonces se ha aclarado que la existencia de tal cosa equivale a la existencia de un cardenal inaccesible y que esta existencia -¡o incluso la consistencia de la existencia de un cardenal inaccesible! -- no puede demostrarse a partir de ZFC solamente, suponiendo que ZFC es consistente.

Sin embargo, muchos geómetras aritméticos y algebraicos en activo toman como artículo de fe que en cualquier uso de las teorías de cohomología de Grothendieck para resolver un "problema razonable", se puede obviar la apelación al axioma del universo. Sin duda esta fe es basado en con el agravante de que la mayoría de los geómetras aritméticos y algebraicos (incluida la compañía actual) no están realmente familiarizados con los entresijos de la teoría de conjuntos o no están dispuestos a adentrarse en ellos. Yo mismo no he pensado en estas cosas, así que no tengo una opinión independiente, pero he oído a uno o dos matemáticos a los que respeto que eliminar este edificio de la teoría de conjuntos no es tan sencillo como uno podría pensar. (Añadido: aquí me refería a la eliminación de construcciones generales no sólo de las aplicaciones a algún resultado particular de la teoría de los números. Y no estaba pensando únicamente en el pequeño sitio de etale -- ver, por ejemplo, los comentarios sobre cosas cristalinas más abajo).

Aquí hay un artículo que da más detalles sobre el asunto:

• Colin McLarty, ¿Qué hace falta para demostrar el último teorema de Fermat? Grothendieck y la lógica de la teoría de los números , Bull. Symb. Log. 16 No. 3 (2010) pp. 359-377, doi: 10.2178/bsl/1286284558 , autor archivado pdf .

Obsérvese que no respaldo necesariamente las afirmaciones de este artículo, aunque creo que hay algo de razón en la idea de que los trabajos escritos por los teóricos de los números y los geómetras algebraicos no suelen discutir qué supuestos teóricos de conjuntos son necesarios para que los resultados se mantengan, de modo que cuando un matemático genérico intenta rastrear esto a través de las referencias estándar, puede parecer que hay al menos una dependencia aparente de los universos de Grothendieck.

P.D.: Si un matemático del calibre de Y.I. Manin se empeñó en preguntar en público si la demostración de las conjeturas de Weil depende de alguna manera esencial de los cardenales inaccesibles, ¿no es esto una señal de que "Por supuesto que no; no seas estúpido" puede no ser la respuesta más útil?

Answer 2

Estoy escribiendo una nueva respuesta en la wiki de la comunidad porque me parece que el consenso en los comentarios es que la respuesta aceptada no cuenta realmente con la historia correcta, y ya que esto es algo que surge todo el tiempo sería bueno tener un solo lugar para señalar a la gente sin hacerles leer a través de todos los comentarios. Por favor, mejore mi respuesta.

En el sentido más ingenuo, la prueba de Wiles sí depende de la existencia de universos de Grothendieck (y, por tanto, de la existencia de cardinales inaccesibles). Con esto quiero decir que si se toman todas las referencias de la prueba de Wiles y se lee la primera prueba publicada de ese hecho, sin duda se terminaría en algún lugar de SGA donde, debido al amor de Grothendieck por la generalización, se encontrarían universos apareciendo.

Sin embargo, esto no significa que la prueba utilice realmente universos. Es una creencia generalizada (aunque para algunas personas esta creencia no provenga de muchas pruebas directas) que en cualquier situación práctica no se necesitan realmente universos. Sin embargo, hay algunas situaciones concretas (BCnrd menciona algunas que implican la sheafificación en el sitio cristalino) en las que no se sabe necesariamente cómo eliminar el uso de universos.

En consecuencia, para averiguar si la prueba de Wiles utiliza universos, o si es relativamente fácil evitarlos, habría que leer las pruebas por sí mismo o encontrar a alguien que estuviera profundamente familiarizado con los detalles de la prueba, y alguien que se preocupara mucho por los detalles. Una persona que me viene rápidamente a la mente es BCnrd. BCnrd fue uno de los matemáticos que demostró la Teorema de la modularidad que demostró que todas las curvas elípticas sobre $\mathbb{Q}$ son modulares. Esto es un refuerzo del resultado de Taylor y Wiles, que sólo se aplicaba a las curvas elípticas semi-estables, y la prueba implicaba entender y construir sobre el trabajo de Taylor y Wiles. BCnrd también es famoso por su atención al detalle y por consultar las fuentes fundacionales subyacentes; es el autor de un libro dedicado a simplificar y corregir la presentación de la dualidad de Grothendieck en el libro de Hartshorne Residuos y dualidad .

Como se explica en los comentarios a la respuesta de Pete, BCnrd dice que realmente no hay ningún problema en la prueba de Wiles. Todas las cosas específicas que utiliza Wiles se alejan de cualquiera de las cuestiones difíciles en las que podría preocupar la necesidad de invocar universos.

Answer 3

¿Puedo llamar la atención sobre la continuación de esa cita? "Pero hay un consenso general entre los matemáticos de que esto era sólo un atajo conveniente más que una necesidad lógica. Con un poco de trabajo, la prueba de Wiles debería ser traducible a la aritmética de Peano o a alguna ligera extensión de la misma".

Para que conste, el artículo de McLarty en el Bulletin of Symbolic Logic fue efectivamente la fuente de mi afirmación de que Wiles utilizó un cardinal inaccesible (a través de Universes). Si a alguien le apetece debatir la definición exacta de "usar" un axioma sin "necesitarlo", y si esa definición se aplica o no al caso actual, probablemente deberíamos hacerlo en otro lugar (¿desbordamiento de pedantería?). Pero me opuse explícitamente a la afirmación de que la prueba "necesitaba" grandes supuestos cardinales, así que no me propongo ser demasiado apologético.

En cualquier caso, es una pregunta interesante, y me gustaría que mi artículo contribuyera a dar una respuesta al dominio público (aunque me disparen en la cabeza en el proceso ;) ).

(Por cierto, preferiría haber dejado esto como un comentario que como una respuesta, pero no tengo suficientes (ningún) punto de reputación. Si alguien con superpoderes quiere moverlo, por favor, adelante).

Answer 4

En la lista de correo de FOM se discutió sobre este tema: véase, por ejemplo http://cs.nyu.edu/pipermail/fom/1999-April/002983.html , donde alguien afirmó que Wiles necesitaba en cardenales accesibles, y Harvey Friedman esencialmente les dijo que dejaran de ser estúpidos. (Friedman es el tipo que creó el tema de la matemática inversa, que estudia qué axiomas son necesarios para cualquier resultado).

Una analogía sería la afirmación de que la clasificación de grupos de orden 4 necesita universos de Grothendieck, porque los grupos de orden 4 forman una clase propia, por lo que las clases de isomorfismo de los grupos de orden 4 forman una clase 2 de clases. Esto es obviamente una tontería: es trivial replantear la clasificación de los grupos de orden 4 sin usar clases propias, pero esto hace que la afirmación sea algo más complicada: hay que hablar de grupos que son conjuntos hereditariamente finitos o algo así, lo cual es una complicación irrelevante. El uso de los universos de Grothendieck es similar: por ejemplo, la colección de todos los espacios etale sobre un esquema es una clase propia, por lo que en cierto sentido utiliza universos para construirla, pero es equivalente a un conjunto mucho más pequeño, por lo que el uso de universos no es necesario.

Answer 5

A sugerencia de François G. Dorais, traslado esta respuesta de La reciente afirmación de que los inaccesibles son incompatibles con ZF hasta aquí. El texto que sigue fue escrito antes de que yo leyera las respuestas/comentarios anteriores, muy bien informados, por lo que hay un considerable solapamiento.

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Esta es sólo una respuesta rápida con respecto a la FLT, mencionada por el OP .

Colin McLarty es trabajando en mostrando una pequeña parte de La gran conjetura de Friedman es decir, que el teorema de Fermat-Wiles(-Taylor?) es demostrable en un sistema débil de aritmética. Ya que originalmente el caso semi-estable de Taniyama-Shimura-Weil que Wiles demostró (por no mencionar el trabajo de otros como Frey, Serre, Ribet para llegar a ese punto) requería grandes partes de la geometría algebraica y aritmética desarrollada por la escuela de Grothendieck, que entre otras cosas utiliza gavillas, cohomología y demás, y por lo tanto a priori requiere cierto cuidado fundacional. Se introdujeron los universos (~cardenales inaccesibles) para ocuparse del problema de, por ejemplo, formar categorías de gavillas en categorías de gavillas en un sitio.

Sin embargo, se puede utilizar una versión de la teoría de conjuntos mucho más débil que ZFC+Universo(s), de hecho bastante más débil que ZFC, como ha demostrado McLarty, y seguir obteniendo prácticamente todo EGA/SGA (esto se basa en argumentos generales, no se ha sentado a trabajar en todo ello). Sin embargo, la geometría aritmética necesaria para la FLT [editar: y, de hecho, gran parte de la teoría de números] realmente sólo necesita considerar contable en lugar de sitios pequeños genéricos, por lo que realmente sólo hay que asumir supuestos mucho más débiles sobre los objetos infinitos.

En una charla más reciente (julio de 2011 - las diapositivas no están disponibles públicamente, que yo sepa) de McLarty se afirmaba que la cohomología de funtores derivados es una teoría de primer orden finitamente axiomatizada, por lo que no es realmente la complicada bestia lógica que parece ser.

EDITAR: Mientras tanto, se han publicado más trabajos:

• Colin McLarty, Las grandes estructuras de Grothendieck fundadas en la aritmética de orden finito , Rev. Symb. Log. 13 No. 2 (2020) pp. 296-325, doi: 10.1017/S1755020319000340 , arXiv: 1102.1773

Citando el resumen:

Tales herramientas de cohomología de gran estructura como las topos y las categorías derivadas se mantienen cerca de la aritmética en la práctica, aunque los fundamentos existentes para ellas van más allá de la teoría de conjuntos fuertes ZFC. Formalizamos la visión práctica fundando los teoremas de EGA y SGA, además de las categorías derivadas, al nivel de la aritmética de orden finito.

Algunos resultados parciales para llegar a un orden finito específico están en

• Colin McLarty, Cohomología de Zariski en la aritmética de segundo orden , arXiv: 1207.0276

La cohomología de gavillas coherentes y gavillas de grupos abelianos sobre esquemas noetherianos se interpreta en aritmética de segundo orden mediante un teorema de finitud

aunque las herramientas de ese artículo son insuficientes para aplicarlas a la cohomología étale, esto significa que estamos muy, muy lejos de necesitar universos.