Si $R$ es un dominio integral, entonces $(R[x])^\times=R^\times$

Question

Si $R$ es un dominio integral, entonces $(R[x])^\times=R^\times$

---

Así que desde $R$ es un dominio integral, se deduce que $R[x]$ es un dominio integral. Tenemos $f(x)g(x)=1$ entonces sabemos que $\deg(f(x)g(x))= \deg(f(x))+\deg(g(x))=0$

Como ninguno de los dos puede ser igual a cero, ambos son de grado no nulo $0$ polinomios, y por lo tanto $f(x)=a,g(x)=b$ donde $f,g\in R$ . Por lo tanto, todas las unidades de $R[x]$ deben ser unidades en $R$ .

---

¿Es esto aceptable?

Answer 1

Su prueba parece estar bien.

Utilizando tu resultado intenta demostrar el siguiente resultado general:

Dejemos que $R$ sea un anillo conmutativo con $1$ . Entonces $f(X)=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2} + \cdots + a_{n}X^{n}$ es una unidad en $R[X]$ si y sólo si $a_{0}$ es una unidad en $R$ y $a_{1},a_{2},\dots,a_{n}$ son todos nilpotente en $R$ .

Intenta probar este resultado por tu cuenta. ( Una pista. Supongamos el resultado para los dominios y para cualquier ideal primo $p$ de $R$ y para cualquier polinomio $f(x)$ Considera que $ \bar f(x)$ en el dominio integral $(R/p)[x]$ mediante la reducción de los coeficientes modulares $p$ y utilizar el resultado para los dominios integrales).