Demuestre que (X) es un primo Ideales

Question

Si $R$ es un dominio integral entonces el ideal principal generado por $x$ en el anillo polinómico $R[x]$ es un ideal primo. Esta prueba era un si y un solo si. He resuelto la primera dirección pero tengo problemas con esta dirección. Alguna pista.

Answer 1

Lema : $P$ es un ideal primo si y sólo si $R/P$ es un dominio integral.

Ahora, fíjate en que $$R[x]/(x) \cong R.$$

Answer 2

Si no conoces el teorema de la respuesta de Robert, entonces, directamente

$\qquad\qquad \begin{align} &\ \ x\mid fg = f(0)g(0)\, +\, x(\cdots)\\ \iff&\ \ x\mid f(0)\,g(0)\\ \iff&\ \ f(0)g(0) = 0\\ \iff&\ \ f(0)\!=\!0\ \ {\rm or}\ \ g(0)\!=\!0\ \ \ {\rm by}\ \ R\ \ {\rm domain}\\ \iff&\ \ \quad x\mid f\ \ \ {\rm or}\quad x\mid g\end{align}$

Así, $\ x\mid fg\iff x\mid f\ \ \ {\rm or}\ \ \ x\mid g,\ $ así que $\,x\,$ es primo (por definición)