Irreductibilidad de polinomios en dos variables

Question

Dejemos que $k$ sea un campo. Me interesan los criterios suficientes para $f \in k[x,y]$ para ser irreducible. Un ejemplo es el Teorema A de este papel (Brindza y Pintér, Sobre la irreducibilidad de algunos polinomios en dos variables Acta Arith. 1997).

¿Alguien sabe de resultados similares en el mismo sentido? ¿Qué hay de los criterios sobre campos distintos de los números complejos?

Answer 1

Un truco que funciona sorprendentemente a menudo en mi experiencia: Si el politopo de Newton de $f$ no puede escribirse como una suma de Minkowski de dos politopos más pequeños, entonces $f$ es irreducible. Pienso en esto como una generalización del criterio de Eisenstein.

Es sorprendentemente fácil comprobar si un polígono reticular en $\mathbb{R}^2$ puede escribirse como una suma de Minkowski de polígonos de red más pequeños. Sea $P$ sea un politopo reticular. Recorrido por $\partial P$ y escriba los vectores que apuntan desde cada punto de la red al siguiente punto de la red; llame a esta secuencia de vectores $v(P)$ . Por ejemplo, si nuestro polinomio es $a y^2 + b y + c xy + d + e x + f x^2 + g x^3$ con $adg \neq 0$ entonces los puntos de la red en la frontera son $(0,2)$ , $(0,1)$ , $(0,0)$ , $(1,0)$ , $(2,0)$ , $(3,0)$ así que $v(P) =(\ (0,-1),\ (0,-1),\ (1,0),\ (1,0),\ (1,0),\ (-3,2)\ )$ . (Tenga en cuenta que $(1,1)$ no está en el límite del triángulo).

Resulta que $v(A + B)$ es simplemente las secuencias $v(A)$ y $v(B)$ , intercalados por la ordenación de sus pendientes . Así, si $P$ puede escribirse como la suma de Minkowski $A+B$ Debemos ser capaces de dividir $v(P)$ en dos subsecuencias disjuntas, cada una de las cuales suma cero. En el ejemplo anterior, esto no se puede hacer, por lo que cualquier polinomio de la forma $a y^2 + b y + c xy + d + e x + f x^2 + g x^3$ con $adg \neq 0$ es irreducible.

Como ejemplo de un polinomio que puede ser factorizado, mira $a y^2 + by + c xy + dx + e x^2$ . Así que el límite es $(0,2)$ , $(0,1)$ , $(1,0)$ , $(2,0)$ , $(1,1)$ con $v(P) = (\ (0,-1),\ (1,-1),\ (1,0),\ (-1,1),\ (-1, 1)\ )$ . Se trata de la intercalación de $(\ (0,-1),\ (1,0),\ (-1, 1)\ )$ y $(\ (1,-1),\ (-1,1)\ )$ , por lo que un polinomio con este politopo de Newton podría ser un factor.

Answer 2

Uno de mis principales candidatos de todos los tiempos al Teorema más absurdo de la historia:

Definición: Un polinomio $f(x) \in \mathbb{C}[x]$ es indecomponible si siempre que $f(x) = g(h(x))$ para los polinomios $g$ , $h$ Uno de los $g$ o $h$ es lineal.

Teorema. Sea $f, g$ sean polinomios indecomponibles no constantes sobre $\mathbb C$ . Supongamos que $f(x)-g(y)$ factores en $\mathbb{C}[x,y]$ . Entonces, o bien $g(x) = f(ax+b)$ para algunos $a,b \in \mathbb{C}$ o $$\operatorname{deg} f = \operatorname{deg} g = 7, 11, 13, 15, 21, \text{ or } 31,$$ y cada una de estas posibilidades se da.

La prueba utiliza la clasificación de los grupos simples finitos [!!!] y se debe a Fried [1980, en las actas de la conferencia de Santa Cruz de 1979 sobre grupos finitos], tras una reducción del problema a un enunciado teórico de grupos/Galois de Cassels [1970]. [W. Feit, "Algunas consecuencias de la clasificación de los grupos simples finitos". 1980.]

Answer 3

Si $k$ es algebraicamente cerrado, entonces dos componentes cualesquiera del cierre proyectivo de $\text{Spec } k[x, y]/(f(x, y))$ se intersecan por el teorema de Bezout, y se puede comprobar la existencia de dichos puntos observando dónde desaparecen simultáneamente las derivadas parciales (los puntos singulares). Por ejemplo, $f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2 - 1$ tiene un cierre proyectivo definido por $F(X, Y, Z) = X^2 + 2XY + Y^2 - Z^2$ y las derivadas parciales desaparecen en $(1 : -1 : 0)$ la intersección de los componentes $X + Y - Z = 0$ y $X + Y + Z = 0$ .

De forma genérica, $k[x]$ es un UFD, por lo que se aplica el criterio de Eisenstein, aunque no estoy seguro de lo práctico que resulta.

Answer 4

Se puede encontrar un resultado bastante útil en las notas de clase de Schmidt sobre Ecuaciones sobre campos finitos (Teorema III.1B en SLNM 536). Supongamos que $K$ es un campo cualquiera y que $f(x,y)=c_0y^d+c_1(x)y^{d-1}+ \cdots+c_d(x) \in K[x,y]$ con $c_0 \neq 0$ . Sea $$ \psi(f)=\sup_{1\leq i\leq d}\frac{\deg c_i}{i}. $$ Entonces $f$ es absolutamente irreducible sobre $K$ siempre que $\psi(f)=m/d$ con $\gcd(m,d)=1$ .

Esto demuestra, por ejemplo, que el polinomio $f(x,y)=g(x)-h(y)$ es irreducible cuando $\deg g$ y $\deg h$ son coprimos.

Answer 5

Dejemos que $f\in A[x][y]$ donde $A$ es un UFD y se supone que $f$ es mónico, es decir, que se puede escribir como $$ f=a_0+a_1 y+\ldots a_{n-1}y^{n-1}+y^n, $$ con $a_i\in A[x]$ . Supongamos que existe un polinomio irreducible $g\in A[x]$ tal que $g|a_i$ para $i=0\ldots n-1$ y $g^2\nmid a_0$ entonces por el criterio de Eisenstein $f$ es irreducible sobre $A[x]$ y por tanto irreducible en $A[x,y]$ . He utilizado el hecho de que $A$ era un UFD sólo para asegurarse de que $gA[x]$ en $A[x]$ es un ideal primo. (Por supuesto, el criterio de Eisenstein es un caso muy especial que se ajusta al método del polígono de Newton).

Usando esta idea y la inducción es fácil ver que los polinomios como $$ (*)\;\;\;\; x_1^{n_1}+x_2^{n_2}+\ldots x_r^{n_r}\in \mathbf{C}[x_1,x_2,\ldots x_r], $$ son irreducibles siempre que $n_i\geq 1$ y $r\geq 3$ ya que el polinomio $x_1^{n_1}+x_2^{n_2}$ tiene siempre un divisor irreducible de multiplicidad uno.

De forma más general, existe el llamado criterio de Ehrenfeucht, que dice que $$ (**) \;\;\;\; f_1(x_1)+f_2(x_2)+\ldots f_r(x_r)\in\mathbf{C}[x_1,\ldots,x_r], $$ es siempre irreducible si $\deg(f_i)\geq 1$ y $r\geq 3$ . En el caso de que $r=2$ sigue siendo irreducible si se tiene $(\deg(f_1),\deg(f_2))=1$ .

Nótese que los polinomios en $(\star)$ son un caso muy especial de polinomios en $(\star\star)$ . Una buena prueba de este criterio puede encontrarse en un artículo de Tverberg titulado "A remark on Ehrenfeucht's criterion for irreducibility of polynomials". Desgraciadamente, si se tiene un polinomio con monomios mixtos, este criterio no se aplica.