Esta pregunta se refiere al espacio de todas las topologías en un conjunto fijo X. Podemos ordenar las topologías por refinamiento, por lo que que τ ≤ σ sólo en el caso de que cada conjunto abierto τ sea abierto en σ. Equivalentemente, decimos en este caso que τ es Más grueso que σ, que σ es Más fino que τ o que σ refina τ. (Ver wikipedia sobre la comparación de topologías .) El menor elemento de este orden es la topología indiscreta y el mayor es la topología discreta.
Se puede demostrar que la colección de todas las topologías sobre un conjunto fijo es una red completa. En sentido descendente, por ejemplo, la intersección de cualquier colección de topologías sobre X sigue siendo una topología sobre X, y esta intersección es la mayor topología contenida en todas ellas. Del mismo modo, la unión de cualquier número de topologías genera una topología más pequeña topología que las contiene a todas (por cierre bajo intersecciones finitas intersecciones finitas y uniones arbitrarias). Por lo tanto, la colección de todas las topologías en X es una red completa completa.
Nótese que las topologías compactas son cerradas hacia abajo en este entramado, ya que si una topología τ tiene menos conjuntos abiertos que σ y σ es compacta, entonces τ es compacta. Del mismo modo, las topologías Hausdorff son cerradas hacia arriba ya que si τ es Hausdorff y está contenida en σ, entonces σ es Hausdorff. Así, las topologías compactas habitan la parte inferior del entramado y las topologías Hausdorff la superior.
Estas dos colecciones se besan en el compacto topologías de Hausdorff. Además, estos puntos que se besan, las topologías compactas de Hausdorff, forman una anticadena en la rejilla: no hay dos comparables. Para ver esto supongamos que el subconjunto τ σ son ambos compactos Hausdorff. Si U es abierto con respecto a σ, entonces el complemento C = X - U es cerrado respecto a σ y y por tanto compacto respecto a σ en la topología del subespacio topología del subespacio. Por lo tanto, C también es compacto con respecto a τ en en la topología del subespacio. Como τ es Hausdorff, esto implica (un ejercicio elemental) que C es cerrado respecto a τ, y por tanto U es en τ. Por tanto, τ = σ. Así pues, no hay dos topologías compactas de Hausdorff distintas que sean comparables, por lo que estas topologías se extienden lateralmente, formando una anticadena de la red.
Mi primera pregunta es, ¿las topologías compactas de Hausdorff forman una anticadena máxima? Equivalentemente, ¿es toda topología comparable con una topología compacta de Hausdorff? [Edición: François señala un contraejemplo fácil en los comentarios más abajo].
Una versión más débil de la pregunta se limita a preguntar si cada topología compacta es refinada por una topología compacta de Hausdorff y, del mismo modo, si toda topología de Hausdorff refina una topología compacta de Hausdorff. ¿En qué circunstancias una topología compacta es refinada por una única topología compacta de Hausdorff? ¿En qué circunstancias una topología de topología de Hausdorff refina una topología compacta única de Hausdorff de Hausdorff?
¿Qué otras características topológicas, además de la compacidad y la Hausdorffness tienen una interacción esclarecedora con esta rejilla?
Por último, ¿qué tipo de propiedades de la red tiene la red de topologías? Por ejemplo, la red tiene átomos, ya que podemos formar la topología casi indiscreta teniendo un solo conjunto abierto no trivial (y cualquier subconjunto no trivial es suficiente). De ello se deduce que toda topología es el mínimo límite superior de los átomos que están por debajo de ella. El El entramado de topologías es complementado . Pero la red no es distributiva (cuando X tiene al menos dos puntos), ya que incrusta N 5 por el topologías que involucran a {x}, {y} y la topología generada por {{x},{x,y}}.
