Demostrar que $P_{f}(X) = \prod_{i=1}^{l} (X - a_i)^{n_i} \prod_{j=1}^{m} (X^2 + a_jX + b_j)^{q_j} $ .

Question

Dejemos que $f$ sea un mapa lineal en un espacio vectorial real de dimensión finita $E$ .

Demuestre que el polinomio característico de $f$ puede ser factorizado en la forma

$P_{f}(X) = \prod_{i=1}^{l} (X - a_i)^{n_i} \prod_{j=1}^{m} (X^2 + a_jX + b_j)^{q_j} $

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He pensado en utilizar la prueba por inducción.

En un espacio vectorial unidimensional, es cierto.

Si suponemos que es cierto para la dimensión $n$ .

Para el caso de $n +1$ , dejemos que $g$ sea un mapa lineal en un $(n+1)$ espacio vectorial de dimensión.

Si escribimos la matriz de $g$ en una base, tendremos:

$P_g(X) = (a_{11} - X) P(X) + R(X) $

$P(X)$ se puede factorizar ya que es el polinomio característico de grado $n$ .

No sé cómo obtener la factorización completa del polinomio.

Puede que me equivoque usando la inducción, se agradecería otro método.

Answer 1

Se trata principalmente de álgebra de polinomios más que de álgebra lineal. De hecho:

Cualquier polinomio $P(X)\in\mathbb R[X]$ puede escribirse de la forma

$$P(X)=\lambda\left(\prod_{i=1}^l(X-a_i)^{n_i}\right)\left(\prod_{i=1}^m(X^2+b_iX+c_i)^{q_i}\right)$$

donde $l,m,n_i,q_i\in\mathbb N$ , $\lambda,a_i,b_i,c_i\in\mathbb R$ y $b_i^2-4c_i<0$ . (Obsérvese que $\lambda$ es el coeficiente principal de $P(X)$ )

Para que lo anterior se cumpla, hay que tener en cuenta la convención $\prod_{i=1}^0\alpha_i=1$ para cualquier $\alpha_i$ .

Ahora para tu ejercicio, sabes que el coeficiente principal del polinomio característico es $\lambda=1$ .

Para demostrar el hecho anterior, utilice el teorema fundamental del álgebra, que dice que cualquier polinomio no constante sobre $\mathbb C$ tiene al menos una raíz. En particular, dado un polinomio no constante $P(X)\in\mathbb R[X]$ , sabes que tiene al menos una raíz $z\in\mathbb C$ . Así que $P(X)=(X-z)Q(X)$ con $\deg Q(X)<\deg P(X)$ . Con esto se puede demostrar por inducción que $$P(X)=\lambda \prod_{i=1}^n(X-z_i)^{n_i}$$ donde $\lambda\in\mathbb R$ es el coeficiente principal de $P(X)$ , $n_i\in\mathbb N$ y $z_i\in\mathbb C$ .

• Si todas las raíces de $P(X)$ son reales, hemos terminado: todos $z_i\in\mathbb R$ .

• Si $P(X)$ no tiene una raíz real, entonces todos los $z_i$ están en $\mathbb C\backslash\mathbb R$ . Ahora, usted nota que $P(\overline{z_i})=\overline{P(z_i)}=0$ porque los coeficientes de $P(X)$ son reales, y porque $z_i\notin\mathbb R$ , $\overline{z_i}\neq z_i$ . Así que puedes escribir tu polinomio en la forma $$\prod_{i=1}^m(X-z_i)^{q_i}(X-\overline{z_i})^{q_i}.$$ Observe que $(X-z_i)(X-\overline{z_i})=X^2-2\Re(z_i)X+|z_i|^2.$

• De lo contrario, aísla los reales de los no reales, por lo que puedes reescribir tu polinomio (renombrando) como $$P(X)=\lambda\left(\prod_{i=1}^l(X-a_i)^{n_i}\right)\left(\prod_{i=1}^m(X-z_i)^{p_i}\right)$$ donde $\lambda,a_i\in\mathbb R$ , $l,m,n_i,p_i\in\mathbb N$ y $z_i\in\mathbb C\backslash\mathbb R$ . Entonces se puede concluir igual que lo anterior.