Resolución mínima inyectiva de un módulo

Question

Dejemos que $R$ sea un anillo noetheriano conmutativo y $M$ un $R$ -módulo. Sea $0\rightarrow M\rightarrow E^{\bullet}$ sea una resolución mínima inyectiva de $M$ y $0\rightarrow M\rightarrow I^{\bullet}$ sea una resolución inyectiva arbitraria. Entonces, ¿cómo construir un mapa en cadena inyectivo a partir de $E^{\bullet}$ à $I^{\bullet}$ ?

Si tenemos $$ \newcommand{\ra}[1]{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\xrightarrow{\quad#1\quad}\!\!\!\!\!\!\!\!} \newcommand{\da}[1]{\left\downarrow{\scriptstyle#1}\vphantom{\displaystyle\int_0^1}\right.} % \begin{array}{llllllllllll} 0 &\ \ra{} & M & \ra{} & E^0& \ra{f_1} & E^1 & \ra{f_2} & E^2& \\ & & \da{=} & & \da{g_0} & & \da{g_1} & & \da{g_2} & & \\ 0 &\ \ra{} & M & \ra{} & I^0 & \ra{h_1} & I^1 & \ra{h_2} & I^2 & \ra{h_3} & I^3 \\ \end{array} $$ donde $g_0$ , $g_1$ y $g_2$ son todas inyecciones. Si podemos mostrar $E^2/Im(f_2)$ puede ser incrustado en $I^3$ , entonces podemos encontrar $E^3\subseteq I^3$ continuar este diagrama, pero cómo mostrar $E^2/Im(f_2)$ puede ser incrustado en $I^3$ ?

Answer 1

Se puede demostrar que $(E^\bullet, f_\bullet)$ es un sumando directo de $(I^\bullet, h_\bullet)$ es decir $I^\bullet = E^\bullet \oplus J^\bullet$ para algún complejo (exacto) $(J^\bullet, \phi_\bullet)$ . $\DeclareMathOperator{\Im}{\operatorname{im}}$

Basta con demostrar que $\Im(f_2) = \ker(h_3g_2)$ (como entonces $E^2/\Im(f_2) = E^2/\ker(h_3g_2) \hookrightarrow I^3$ produciendo una inyección dividida $g_3 : E^3 \hookrightarrow I^3$ ). Tenemos por inducción $g_2 = (\text{id},0) : E^2 \hookrightarrow I^2 = E^2 \oplus J^2$ y $h_2 : I^1 \to I^2$ dado por $\begin{pmatrix} f_2 & 0 \\ 0 & \phi_2 \end{pmatrix}$ . Entonces para $x \in E^2$ , $x \in \ker(h_3g_2) \iff g_2(x) \in \ker h_3 \iff g_2(x) \in \Im(h_2) \iff \begin{pmatrix} x \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f_2 & 0 \\ 0 & \phi_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_1' \end{pmatrix}$ para algunos $y_1 \in E^1$ , $y_1' \in J^1 \iff x \in \Im(f_2)$ .

Answer 2

Es bien sabido que podemos definir algunos mapas en cadena $u^{\bullet}:E^{\bullet}\to I^{\bullet}$ y $v^{\bullet}:I^{\bullet}\to E^{\bullet}$ que son la identidad en $M$ . De este modo, obtenemos un mapa en cadena $w^{\bullet}:E^{\bullet}\to E^{\bullet}$ que es la identidad en $M$ , donde $w^{\bullet}=v^{\bullet}u^{\bullet}$ . Ahora usando eso $E^{\bullet}$ es mínima es fácil demostrar (inductivamente) que $w^{\bullet}$ es un isomorfismo de cadena y por tanto $u^{\bullet}$ es inyectiva.