Este es un ejemplo del libro de S.Buechler Teoría de la estabilidad esencial .
Dejemos que $M$ sea el grupo $\bigoplus_{i<\omega}(\mathbb{Z}_4)_{i}$ con $\mathbb{Z}_4=\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ . Supongamos que $M^{*}$ es el modelo de monstruo de $Th(M)$ . Mis preguntas son las siguientes:
Por qué $2M^{*}$ es un espacio vectorial sobre $\mathbb{Z}_2$ ?
Por qué el rango Morley de $M^{*}$ es 2?
Cualquier pista o comentario a mis preguntas es bienvenido. Gracias.
Hay dos maneras de interpretar su primera pregunta. Una es puramente algebraica y directa: el grupo $2M^{*}$ tiene un exponente $2$ (porque para todos $a\in 2M^*$ , $a = 2b$ para algunos $b\in M^*$ Así que $2a = 4b = 0$ ), y todo grupo de exponente $2$ admite una estructura única como espacio vectorial sobre $\mathbb{Z}_2$ .
La segunda forma de interpretar su pregunta es teórica del modelo y un poco más complicada: la estructura inducida en $2M^{*}$ de todo el modelo $M^*$ es igual (interdefinible con) la estructura del espacio vectorial en $2M^*$ . Es evidente que las operaciones de espacio vectorial en $2M^*$ son definibles en $M^*$ . En el otro sentido, cualquier subconjunto de $2M^*$ que es definible en el lenguaje de grupos abelianos con parámetros de $M^*$ también es definible en el lenguaje del espacio vectorial con parámetros de $2M^*$ . Esto se deduce abstractamente del hecho de que $M^*$ es estable (como todo grupo abeliano), por lo que $2M^*$ está incrustado de forma estable en $M^*$ o puedes argumentar directamente usando la eliminación del cuantificador.
Para su segunda pregunta, calculemos el rango de Morley de $M^*$ . Es fácil ver que el rango de Morley es $\geq 2$ : El subgrupo $2M^*$ tiene infinitos cosets disjuntos. Cada uno de estos cosets es definible y tiene el rango de Morley $\geq 1$ (ya que es inifnito), por lo que presencian $\text{MR}(M^*)\geq 2$ .
Para la inversa, necesitamos entender todos los conjuntos definibles en $M^*$ Por lo tanto, hay que empezar mostrando que la teoría tiene eliminación de cuantificadores (puede ser útil empezar con la habitual eliminación de cuantificadores hasta las fórmulas primitivas positivas en las teorías de grupos abelianos, y luego eliminar el último bloque de cuantificadores existenciales).
Una fórmula atómica en una variable libre equivale a $nx + a = 0$ , donde $n \in \{0,1,2,3\}$ y $a\in M^*$ . Si $n = 0$ esta fórmula define $M^*$ si $a = 0$ o $\varnothing$ si $a\neq 0$ . Si $n = 1$ o $3$ esta fórmula define un único elemento de $M^*$ . Por último, si $n = 2$ esta fórmula define un coset de $2M^*$ .
De la eliminación del cuantificador se deduce que todo subconjunto definible de $M^*$ es $M^*$ menos un número finito de puntos o es una unión finita de cosets de $2M^*$ más o menos un número finito de puntos. Dado que $2M^*$ es fuertemente mínima (su estructura inducida es un espacio vectorial, como se ha mostrado anteriormente), tiene el rango de Morley $1$ por lo que todo coset de $2M^*$ tiene el rango de Morley $1$ y, por lo tanto, toda unión finita de cosets (más o menos puntos finitos) también tiene rango de Morley $1$ . De ello se desprende que $M^*$ tiene el rango de Morley $\leq 2$ ya que no podemos encontrar una familia infinita de (ni siquiera $2$ !) conjuntos definibles disjuntos de rango Morley $\geq 2$ .
El argumento anterior funciona directamente a partir de la definición de rango de Morley. En la otra respuesta, tomasz dio una solución más rápida utilizando un hecho sobre la aditividad del rango de Morley en grupos estables.
Para la primera pregunta: $M$ es un grupo abeliano de exponente $4$ y, por lo tanto, también lo es $M^*$ . De ello se desprende que $2M^*$ es un grupo abeliano de exponente $2$ . Un grupo abeliano de exponente primo $p$ es un espacio vectorial sobre el $p$ -Campo de elementos. (Más generalmente, un grupo abeliano de exponente $n>0$ es un $\mathbf Z/n\mathbf Z$ -).
En cuanto a su segunda pregunta, supongo que quiere calcular el rango de Morley de $M$ como un grupo abeliano puro. El subgrupo $2M\leq M$ es infinito, por lo que tiene el rango de Morley al menos $1$ y $[M:2M]$ es infinito, por lo que $M$ tiene el rango de Morley al menos $2$ .
Para obtener el límite superior, basta con demostrar que $M/2M$ y $2M$ son ambos de rango $1$ . Pero eso se deduce del hecho de que (para cada uno de ellos), la estructura inducida es la de un espacio vectorial sobre el campo de dos elementos, y como tal, son fuertemente mínimos.
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