Importantes problemas abiertos que ya se han reducido a una cantidad de cálculo finita pero inviable

Question

La mayoría de los problemas abiertos, cuando se formalizan, implican naturalmente la cuantificación sobre conjuntos infinitos, con lo que se obvia la posibilidad, incluso en principio, de "ponerlo en un ordenador".

Algunas cuestiones (por ejemplo, la existencia de un plano proyectivo de orden 12) se resuelven naturalmente tras un cálculo finito, pero no es factible.

Me gustaría tener ejemplos de problemas abiertos razonablemente importantes que ahora han sido reducido mediante argumentos no triviales, a cálculos finitos pero irrealizables.

Estoy seguro de que la teoría aditiva de los números da ejemplos (ciertas cuestiones en la línea de la conjetura de Goldbach y el problema de Waring, pero no tengo los detalles a mano). Me gustaría especialmente ver ejemplos que no parezcan originarse en la matemática discreta.

Answer 1

Función de Jacobsthal $g(n)$ para un número entero positivo $n$ da el número más pequeño $g$ tal que cualquier intervalo de enteros consecutivos de longitud $g$ contiene un número entero coprimo a $n$ . Llevo un tiempo trabajando en la delimitación de esta función, con la esperanza de superar los límites inferiores cerca de $k \log k$ (muchos investigadores, el más reciente Konyagin-Ford-Green-Maynard-Tao) y límites superiores $(k\log k)^2$ (Iwaniec), donde $k$ es el número de factores primos distintos de $n$ .

Algunos se han preguntado sobre la $C(k)$ que es el máximo sobre todos los $n$ avec $k$ factores primos distintos de $g(n)-1$ . (Lea el documento de Jacobsthal de 1961 para saber el porqué de esta definición). No está claro que haya que comprobar sólo un número finito de casos para determinar $C(k)$ Sin embargo, un buen argumento en el artículo de Hajdu y Saradha "Disproof of a Conjecture of Jacobsthal" muestra que, efectivamente, sólo un número finito de $n$ deben ser comprobados. Además, el máximo no siempre se produce en $n =P_k= \prod_{1 \leq i \leq k} p_i$ el producto de la primera $k$ primos. Aunque se han realizado cálculos exactos para $k \lt 50$ para $g(P_k)$ , $C(k)$ parece que sólo se conoce hasta $k=24$ .

Gerhard "Pregúntame sobre la función de Jacobsthal" Paseman, 2015.05.15