Esto es una elaboración de un comentario sobre la respuesta de Suvrit.
Los números de Ramsey pueden definirse para ordinales (infinitos), igual que en el caso finito: $r(\alpha,\beta)$ es el menos $\gamma$ tal que para cualquier $2$ -de las aristas del grafo completo en $\gamma$ vértices hay un conjunto de vértices de tipo $\alpha$ cuyo grafo inducido es rojo, o un conjunto de vértices de tipo $\beta$ cuyo gráfico inducido es azul.
El teorema de Ramsey da que $r(\omega,\omega)=\omega$ , pero ya $r(\omega+1,\omega)=\omega_1$ . Por otro lado, si $\alpha\lt\omega_1$ y $n$ es finito, entonces $r(\alpha,n)\lt\omega_1$ y para valores infinitos razonablemente pequeños de $\alpha$ se puede intentar calcular $r(\alpha,n)$ explícitamente. Resulta que este cálculo se reduce a problemas finitos (teóricos de Ramsey) que, al igual que el cálculo clásico de los números de Ramsey finitos, se vuelven rápidamente inviables.
Por ejemplo:
- $r(\omega+3,3)=\omega\cdot2 + 8$ . En general, si $0\lt n,m\lt\omega$ entonces $$ r(\omega+n,m)=\omega\cdot(m-1)+(g(n,m)-(m-1)), $$ donde $g(n,m)$ es el menos $k$ de manera que cualquier $2$ -coloración de las aristas del grafo completo sobre conjunto de vértices $\{1,\dots,k\}$ tal que el gráfico inducido en $C=\{1,\dots,m-1\}$ es azul, o admite un azul $K_m$ o un rojo $K_{n+1}$ con uno de sus vértices en $C$ .
Fue establecido por primera vez por Haddad y Sabbagh en 1969. Se ha $r(n+1,m)\le g(n,m)\lt\infty$ pero normalmente la primera desigualdad es estricta. Por ejemplo, $r(4,3)=9$ pero $g(3,3)=10$ . En general, la computación $g(n,m)$ es similar, pero más difícil de calcular $r(n+1,m)$ .
- $r(\omega\cdot3,3)=\omega\cdot9$ . En general, si $0\lt n,m\lt\omega$ entonces $$ r(\omega\cdot n,m)=\omega\cdot l(n,m), $$ donde $l(n,m)$ es el menos $k$ de manera que cualquier $2$ -de las aristas del dígrafo completo en $k$ vértices contiene un dígrafo completo rojo en $n$ vértices, o un torneo transitivo azul en $m$ vértices.
Aquí, en los dígrafos completos tenemos dos flechas (que van en direcciones opuestas) entre dos vértices distintos cualesquiera. Esto fue demostrado por Erdős y Rado en 1955. Como en el caso de $g$ el cálculo de los valores de $l(n,m)$ rápidamente se vuelve inviable.
- $r(\omega^2\cdot2,3)=\omega^2\cdot10$ . En general, si $0\lt n,m\lt\omega$ entonces $r(\omega^2\cdot m,n)=\omega^2\cdot h(m,n)$ para una función teórica de Ramsey $h$ relacionado con $3$ -colores de las aristas de los dígrafos, aunque su descripción exacta es algo técnica para incluirla aquí. Esto ha sido demostrado recientemente por Thilo Weinert, véase aquí .
