Importantes problemas abiertos que ya se han reducido a una cantidad de cálculo finita pero inviable

Question

La mayoría de los problemas abiertos, cuando se formalizan, implican naturalmente la cuantificación sobre conjuntos infinitos, con lo que se obvia la posibilidad, incluso en principio, de "ponerlo en un ordenador".

Algunas cuestiones (por ejemplo, la existencia de un plano proyectivo de orden 12) se resuelven naturalmente tras un cálculo finito, pero no es factible.

Me gustaría tener ejemplos de problemas abiertos razonablemente importantes que ahora han sido reducido mediante argumentos no triviales, a cálculos finitos pero irrealizables.

Estoy seguro de que la teoría aditiva de los números da ejemplos (ciertas cuestiones en la línea de la conjetura de Goldbach y el problema de Waring, pero no tengo los detalles a mano). Me gustaría especialmente ver ejemplos que no parezcan originarse en la matemática discreta.

Answer 1

Mencionas la teoría aditiva de los números en la pregunta, así que quizás este no sea el tipo de ejemplo que quieres. Sin embargo, tengo entendido que el Conjetura de los tres primos (cada número de impar $\geq 7$ es la suma de tres primos) está ahora en la cúspide de una solución informática factible.

Vinogradov demostró que la conjetura era cierta para todos los números Impares suficientemente grandes (es decir, existe $C>0$ tal que todo número impar mayor que $C$ es la suma de tres primos).

Varias personas han dado valores explícitos para $C$ pero, hasta hace poco, el mejor valor explícito (es decir, el más bajo) era $e^{3100}$ . Obviamente, esto sigue estando fuera del alcance del cálculo.

Sin embargo, Tao y, más recientemente, Helfgott han mejorado estos límites mediante el estudio de los llamados "arcos menores", de modo que ahora se puede imaginar el tratamiento de los casos restantes por ordenador. Los resultados de Helfgott se expresan en términos de un parámetro $q$ que pertenecen a los arcos menores. Su trabajo implica que la conjetura es cierta para $q>4\cdot 10^6$ .

Si le interesa, debería leer El preimpreso de Helfgott que comienza con un breve resumen de la historia de este problema.

EDIT: y desde entonces se ha resuelto: http://arxiv.org/abs/1501.05438 . Enhorabuena al profesor Helfgott.

Answer 2

Thurston preguntó por el número máximo de no-hiperbólicos Rellenos de Dehn en un 3manifold hiperbólico de un cúspide, y conjeturó que el máximo es 10, que sólo se alcanza con el complemento del nudo de la figura ocho. Ahora se ha demostrado que el máximo es 10 mediante Lackenby-Meyerhoff pero también he demostrado que existe un algoritmo que determinará las variedades finitas con $>8$ Excepcionales rellenos de Dehn .

Answer 3

Como resultado de la iniciativa de Terry Tao reciente entrada del blog el conjetura del corredor solitario para cualquier valor particular de $n$ se ha reducido a un cómputo finito. Actualmente el LRC se verifica sólo para $n \leq 7$ .

Answer 4

No estoy seguro de si esto se ajusta a todos los criterios establecidos, pero ya que es un problema ordenado aquí va

¿Existe un gráfico regular de 57 $X$ de orden 3250 , circunferencia 5 y diámetro 2?

$X$ se conoce como Moore gráfico

Se sabe mucho sobre $X$ (el grupo de automorfismo tiene un orden inferior a 350), el número de independencia es como máximo 400, el polinomio cromático es $(x-57)(x+8)^{1520}(x-7)^{1729}$ pero el espacio de búsqueda de todos los grafos potenciales sigue siendo demasiado grande para ser calculado con un algoritmo.

Answer 5

Voronoi dio un algoritmo para enumerar todas las formas cuadráticas perfectas en $n$ variables y, en consecuencia, identificar el empaquetamiento reticular más denso de esferas en $\mathbb{R}^n$ .