Homología y Euler características de la clásica Mentira grupos

Question

Estoy interesado en métodos de la informática de la homología de grupos y de Euler características de la clásica Mentira grupos ($GL(n,\mathbb{R}), SL(n,\mathbb{R})$, etc.). (Pero yo estaría interesado en las técnicas que son de aplicación más general a la Mentira de los grupos).

He aquí el estado actual de mis conocimientos sobre este tema con algunos explícita preguntas intercaladas:

• Un compacto de Lie del grupo de dimensión positiva admite un lugar de fuga campo de vectores y por lo tanto tiene la característica de Euler de cero.

• Recuerdo haber leído en el pasado que un conectada Mentira grupo de deformación se retrae en su máxima compacto subgrupo, que por lo anterior se ha de Euler de característica cero. Teniendo en cuenta esto, podemos decir que la conexión de un grupo Mentira es contráctiles o ha Euler característica cero. Sin embargo, mi conocimiento de la teoría de la Mentira es muy débil en el mejor, así que no estoy completamente cómodo para aceptar este hecho. Hay una prueba simple? (Siento que no debería ser, pero sólo estoy perdiendo.)

• La característica de Euler respeta la fibra de estructuras de paquetes: si $F \rightarrow E \rightarrow B$ es un haz de fibras con un espacio total $E$ base $B$, y la fibra $F$,$\chi(E) = \chi(F)\cdot\chi(B)$. Algunas condiciones adecuadas son necesarias; creo $B$ trayectoria-conectado basta, pero no estoy 100% seguro. No puedo pensar en un ejemplo claro de esto: Identificar las $S^3$ $SU(2)$ e implementar el Hopf fibration $S^1 \rightarrow S^3 \rightarrow S^2$. El subgrupo $U(1)$ se realiza como $S^1$ y el cociente $SU(2)/U(1)$ se realiza como $S^2$. Así que tenemos una fibration $SU(2) \rightarrow SU(2)/U(1)$ con fibra de $U(1)$; por lo tanto $\chi(SU(2)) = \chi(SU(2)/U(1)) \cdot \chi(U(1)) = 0$. Pero esto ya se sabe desde $SU(2)$ es compacto.

• El enfoque más directo a la informática, tanto de la homología y la de Euler características posiblemente sería encontrar una explícita celular de la descomposición de estos grupos. De nuevo, mis conocimientos de básicos de la teoría de la Mentira se me fallaba aquí: no veo la forma de encontrar descomposición de la matriz de grupos.

• Seguramente hay otros métodos para calcular la homología que explotaría la Mentira de la estructura del grupo, pero no sé de ninguna.

Answer 1

Así que sabemos que $GL_n(\mathbb{R})$ $SL_n(\mathbb{R})$ son homotopy equivalente a $O_n$ y $SO_n$ respectivamente (cosas Similares son verdaderas para el trabajo de más de $\mathbb{C}$). Ahora usted puede trabajar inductivamente mediante un Serre SS. Mira la fibration procedentes de la inclusión de uno de los clásicos de grupo a la siguiente, si se coloca el espacio homogéneo va a ser una esfera. Este debe obtener la mayoría del trabajo hecho por usted, y no requiere la teoría de la mentira. Yo no creo que vaya a generalizar aunque excepcionales mentira grupos, sin embargo, usted necesita entender los espacios homogéneos en orden para que esto funcione.

Aquí hay otra manera de usar la Serre SS: Utilice el hecho de que sabemos lo $H^*(BG)$ $G$ unitario o orthoganl, especial o no (con el entero o mod 2 coeficientes dependiendo de si es o no es $U$ o $O$). Sabemos que estos anillos porque nos dan chern y stiefel-whitney clases respectivamente (creo que el efecto de ver una de los grupos especiales es solo para matar a $c_1$ o $w_1$). También, la dimensión del espacio vectorial el grupo está actuando en cuenta que el índice de la característica principal de la clase. Ahora utilice nuestro viejo amigo el bucle ruta de espacio fibration: $\Omega BG \to PBG \to BG$, y recuerda que $\Omega BG$ es homotopy equivalente a $G$ $PBG$ es contráctiles.

Ambos de estos enfoques dan la estructura de anillo.

A continuación, utilice un Bockstein SS para obtener la integral cohomology de las cosas con el mod de dos coeficientes de ($sq^1$ es el diferencial!). Una vez que usted consiga la cohomology puede calcular la característica de euler tomando la alternancia de las sumas de las filas.

Answer 2

La explícita celular de descomposición que estás buscando se llama Bruhat de descomposición. Contando el número de células en cada dimensión automáticamente le da la homología de los clásicos grupos de más de $\mathbb{C}$ (desde luego no son sólo las células en dimensiones), pero creo que con el $\mathbb{R}$ tienes que trabajar más (aunque creo que te dan la característica de Euler, en cualquier caso).