fracciones parciales

Question

$$\frac{1}{1-x^2}$$

$$\frac{1}{1-x^2}=\frac{a}{1-x}+\frac{b}{1+x}$$

$$1=a+ax+b-bx$$

$$1=a+b+x(a-b)$$

$a+b=1$ y $x(a-b)=0\Rightarrow a-b=0\Rightarrow a=b$

$$2a=1\Rightarrow a=\frac{1}{2}$$

$b=\frac{1}{2}$

$$\frac{1}{1-x^2}=\frac{1}{2(1-x)}+\frac{1}{2(1+x)}$$

¿En qué me he equivocado?

Answer 1

No has hecho nada malo.

$$\frac{1}{1-x^2} = \frac{1}{2(x+1)} - \frac{1}{2(x-1)}$$ equivale a su respuesta de $$\frac{1}{1-x^2} = \frac{1}{2(1-x)} + \frac{1}{2(1+x)}.$$

Creo que podemos estar de acuerdo en que ambas respuestas tienen un término común de $\dfrac{1}{2(1+x)}$ . Ahora, fíjate: $$\frac{1}{2(1-x)} = \frac{1}{2 \cdot [-1(x-1)]} = \frac{1}{-2(x-1)} = -\frac{1}{2(x-1)}$$

Por lo tanto, $-\dfrac{1}{2(x-1)} = \dfrac{1}{2(1-x)}$ y, por tanto, las respuestas son las mismas.

Answer 2

Aviso:

• $$\frac{1}{1-x^2}=\frac{1}{-(x-1)(x+1)}=-\frac{1}{(x-1)(x+1)}$$

Así que, tenemos:

$$-\frac{1}{(x-1)(x+1)}=-\frac{a}{x-1}-\frac{b}{x+1}$$

Y, ahora podemos ver eso:

$$a(x+1)+b(x-1)=1\Longleftrightarrow a-b+(a+b)x=1$$

Así que, tenemos:

• $$a-b=1\Longleftrightarrow a=b+1\Longleftrightarrow a=-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}$$
• $$a+b=0\Longleftrightarrow b+1+b=0\Longleftrightarrow 2b=-1\Longleftrightarrow b=-\frac{1}{2}$$

Entonces, ahora tenemos las fracciones parciales:

$$\frac{1}{1-x^2}=-\frac{\frac{1}{2}}{x-1}-\frac{-\frac{1}{2}}{x+1}=\frac{1}{2(x+1)}-\frac{1}{2(x-1)}$$

Answer 3

Pero no se equivoca.

$$\frac{1}{2(1-x)}+\frac{1}{2(1+x)} = \frac{1+x+1-x}{2(1+x)(1-x)} = \frac{2}{2(1+x)(1-x)} = \frac{1}{1-x^2}$$

Answer 4

¿Cuál es el problema? $1/2$ común por lo que se obtiene $1/2(\frac{1+x+1-x}{1-x^2})=\frac{2}{2(1-x^2)}=\frac{1}{1-x^2}$