Ejemplo de una variedad que no es un espacio homogéneo de ningún grupo de Lie

Question

Todas las variedades que he conocido en una clase de geometría diferencial eran espacios homogéneos: esferas, toros, Grassmanianos, variedades de bandera, variedades de Stiefel, etc. ¿Cuál es un ejemplo de una variedad lisa conectada que no sea un espacio homogéneo de un grupo de Lie?

Los únicos candidatos a ejemplos que se me ocurren son las superficies compactas bidimensionales de género al menos dos. No parecen ser obviamente homogéneas, pero no sé cómo demostrar que no lo son. Y si hay ejemplos bidimensionales, debería haber montones de ejemplos de dimensiones superiores.

La cuestión puede reformularse trivialmente preguntando por una variedad que no lleve una acción transitiva de un grupo de Lie. Por supuesto, el grupo de difeomorfismo de una variedad conectada actúa de forma transitiva, pero se trata de un grupo de dimensión infinita y, por tanto, no cuenta como grupo de Lie para mis propósitos.

Los ejemplos orientables estarían bien, pero los no orientables también estarían bien.

Answer 1

Aquí se demuestra que cualquier superficie cerrada $S$ de género al menos 2 no puede soportar una métrica riemanniana homogénea. De hecho, dejemos que $g$ sea una métrica cualquiera. Siendo homogénea, $g$ tiene una curvatura constante y, por ejemplo, según Gauss-Bonnet dicha curvatura debe ser negativa. Por lo tanto, $(S,g)$ es homotético a una superficie hiperbólica, y es bien sabido que el grupo de isometría de cualquier superficie hiperbólica cerrada es finito (de hecho, si $h$ es el género de $S$ entonces $(S,g)$ admite como máximo $84(h-1)$ isometrías).

Answer 2

En la secuencia exacta de homotopía del haz de fibras $G\to G/H$ el grupo $\pi_i(G/H)$ se encuentra entre $\pi_i(G)$ y $\pi_{i-1}(H)$ . Por ejemplo, si $i=1$ entonces $\pi_1(G)$ es abeliano, y $\pi_0(H)$ es finito (como $H$ es compacto). Así, $\pi_1(G/H)$ tiene un subgrupo abeliano de índice finito. Seguramente hay muchos colectores que no tienen esta propiedad, por ejemplo, cualquier colector cerrado con curvatura negativa no la tiene. La suma conectada de varios espacios de lentes es otro ejemplo.

Por cierto, en mi opinión, la clase de los espacios homogéneos compactos es muy rica, y sus propiedades topológicas más finas todavía se comprenden mal. Por ejemplo, la clasificación de los espacios homogéneos hasta el difeomorfismo en un tipo de homotopía dado es bastante desafiante, y no es fácil cocinar un espacio homogéneo con características topológicas prescritas.