Ejemplo de una variedad que no es un espacio homogéneo de ningún grupo de Lie

Question

Todas las variedades que he conocido en una clase de geometría diferencial eran espacios homogéneos: esferas, toros, Grassmanianos, variedades de bandera, variedades de Stiefel, etc. ¿Cuál es un ejemplo de una variedad lisa conectada que no sea un espacio homogéneo de un grupo de Lie?

Los únicos candidatos a ejemplos que se me ocurren son las superficies compactas bidimensionales de género al menos dos. No parecen ser obviamente homogéneas, pero no sé cómo demostrar que no lo son. Y si hay ejemplos bidimensionales, debería haber montones de ejemplos de dimensiones superiores.

La cuestión puede reformularse trivialmente preguntando por una variedad que no lleve una acción transitiva de un grupo de Lie. Por supuesto, el grupo de difeomorfismo de una variedad conectada actúa de forma transitiva, pero se trata de un grupo de dimensión infinita y, por tanto, no cuenta como grupo de Lie para mis propósitos.

Los ejemplos orientables estarían bien, pero los no orientables también estarían bien.

Answer 1

$\pi_2$ de un grupo de Lie es trivial, por lo que $\pi_2(G/H)$ es isomorfo a un subgrupo de $\pi_1(H)$ que es de generación finita (isomorfo a $\pi_1$ de un subgrupo compacto máximo del componente de identidad de $H$ ). Pero $\pi_2$ de una variedad cerrada a menudo no está generada finitamente. Por ejemplo, la suma conectada de dos copias de $S^1\times S^2$ tiene como retracto un pinchazo $S^1\times S^2$ que es equivalente en homotopía a $S^1\vee S^2$ y por tanto tiene una homotopía de cobertura universal equivalente a una cuña infinita de copias de $S^2$ .

EDITAR Esta respuesta ad hoc puede ampliarse como sigue: Todo lo que realmente utilicé fue que $\pi_2(G)$ y $\pi_1(G)$ son generados finitamente. Pero $\pi_n(G)$ está generada finitamente para todo $n\ge 1$ (reducir al caso simplemente conectado y utilizar la homología), por lo que $\pi_n(G/H)$ está generada finitamente para $n\ge 2$ . Eso lleva a muchos más ejemplos no simplemente conectados de mayor dimensión.

Answer 2

Aparte de los ejemplos no simplemente conectados ya mencionados, la mayoría de las variedades simplemente conectadas tampoco son homogéneas. Un criterio fácil es que los espacios homogéneos simplemente conectados son racionalmente elípticos, es decir, tienen homotopía racional total de dimensión finita. Esto se debe a que cualquier grupo de Lie conectado es racionalmente homotópico equivalente a un producto de esferas de dimensión impar, por lo que un espacio homogéneo es elíptico por una larga secuencia exacta de homotopía.

La mayoría de las variedades simplemente conectadas no son racionalmente elípticas. Por ejemplo, la suma conectada de más de dos $CP^2$ 's o $S^2\times S^2$ 's. Esto se ve fácilmente al observar sus modelos mínimos. Pero incluso sin calcular los modelos mínimos se sabe que una variedad elíptica $M^n$ tiene característica de Euler no negativa y tiene la suma total de sus números de Betti $\le 2^n$ . Así que cualquier cosa que viole cualquiera de estas condiciones, como la suma conectada de varios $S^3\times S^3$ 's definitivamente no es racionalmente elíptica y por lo tanto no puede ser un espacio homogéneo o incluso un biquotiente.

En cuanto a las superficies de mayor género no debería ser difícil demostrar que no pueden ser espacios homogéneos $G/H$ incluso si no se asume que $G$ actúa por isometrías. Si $G/H=S^2_g$ y el $G$ acción es efectiva entonces para cualquier $K\unlhd G$ que no actúa transitoriamente sobre $S^2_g$ debemos tener $K/(K\cap H)=S^1$ . Pero entonces $G/K$ también es unidimensional y, por lo tanto, también un círculo, lo cual es obviamente imposible. Esto reduce la situación al caso de $G$ siendo simple que también puede ser fácilmente descartado por razones topológicas.

Answer 3

Atiyah e Hirzebruch dieron una respuesta bastante dramática a su pregunta en su artículo "Spin Manifolds and Group Actions": si $M$ es una variedad de espín lisa y compacta de dimensión $4k$ cuyo $\hat{A}$ -es distinto de cero, entonces ningún grupo de Lie compacto puede actuar sobre $M$ no trivialmente y mucho menos de forma transitoria. La prueba utiliza el teorema del punto fijo de Lefschetz de Atiyah y Bott de forma inteligente.

Desgraciadamente, no tengo por ahí un ejemplo sencillo de este tipo de colector, aunque sé que hay muchos ejemplos entre los colectores de 4 dimensiones. Es posible que algunos espacios de lentes de 4 dimensiones sirvan para ello.

Answer 4

Es un resultado de Mostov que toda variedad compacta homogénea debe tener característica de Euler no negativa:

http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2174096

Eso debería proporcionar muchos contraejemplos. :)

Answer 5

Creo que muchos ejemplos de la teoría de los 3 manificios podrían servir. Tomemos cualquier manípulo compacto, orientado e irreducible $M$ cuya descomposición del toro es no trivial y tiene al menos una pieza hiperbólica. Tales ejemplos no tienen, al menos, una métrica riemanniana localmente homogénea, como consecuencia del análisis de Thurston de las 8 geometrías de la teoría de los 3manifoldes. Un ejemplo concreto de este tipo puede obtenerse a partir de un complemento de nudo hiperbólico en $S^3$ suprimiendo una vecindad de toros sólidos abiertos del nudo y doblando a través de la frontera resultante de 2 toros; el toro doblado produce una característica $Z^2$ subgrupo de $\pi_1(M)$ . Estos ejemplos tienen cobertura universal homeomórfica a $R^3$ y por lo tanto tienen trivial $\pi_2$ . Por la secuencia exacta de homotopía habría un grupo cociente $\pi_1(G) / \pi_1(H)$ identificado con un subgrupo de $\pi_1(G/H)$ cuyo conjunto cociente es $\pi_0(H)$ . Tal vez, para obtener una prueba, se puede analizar esta situación considerando la intersección de la $Z^2$ subgrupo con el $\pi_1(G) / \pi_1(H)$ subgrupo.