Demuestra que una serie de potencias que es cero en una secuencia que converge a cero es la función cero

Question

Llevo horas intentando resolver este problema del Análisis de Comprensión de Abbott y no consigo la última pieza de la prueba.

Dejemos que $g(x) = \sum_{n=1}^\infty b_n x^n$ sea una serie de potencias que converge para todo $x \in (-R,R)$ . Sea $x_n \rightarrow 0$ , mientras que $x_n \neq 0$ y $g(x_n) = 0$ por cada $n$ . Demostrar que $g(x)$ debe ser idénticamente cero en $(-R,R)$ .

Sé que $g(0) = 0$ desde $g$ es continua y el conjunto de ceros de una función continua es cerrado. Sé que $g'(0) = b_1$ y necesito demostrar que esto es cero. Sé que si $f(x) = 0$ en un intervalo, entonces $f'(x) = 0$ en ese intervalo también, pero no puedo encontrar un paralelo de ese resultado con este problema.

Answer 1

Usted tiene
$$ b_1=g'(0)=\lim_{h\to0}\frac{g(h)-g(0)}{h}=\lim_k\frac{g(x_k)-g(0)}{x_k}=0. $$ Ahora tenemos que $$g(x)=x\sum_{n=2}^\infty b_n x^{n-1}.$$ Desde $x_n\ne0$ y $g(x_n)=0$ , obtenemos que $$ g_2(x_k)=\sum_{n=2}b_n(x_k)^{n-1}=0 $$ para todos $k$ . Desde $g_2(0)=0$ podemos aplicar de nuevo el razonamiento anterior, para obtener $b_2=0$ . Ahora podemos repetir el argumento para obtener $b_3=0$ , $b_4=0$ etc.