Cada gráfico suave $(U,\phi)$ en un colector liso $M$ determina un marco local suave $U \to TM$ en el haz tangente, es decir $(\partial/\partial x^i)$ , donde $(x_i)$ son las funciones de coordenadas de $\phi : U \to \mathbb{R}^n$ . ¿Pero es cierto lo contrario? Es decir, dado cualquier marco de coordenadas local suave $(\sigma_i) : M \supset V \to TM$ ¿podemos construir un gráfico tal que el $\sigma_i$ son derivadas parciales de las funciones de coordenadas?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Tienes razón. Si quieres que la afirmación sea cierta alrededor de un barrio deberías mirar la respuesta de @Neal en lugar de la mía en ese puesto que más o menos se refieren al siguiente teorema.
La condición necesaria y suficiente para un marco suave $\{X_i\}$ ser expresable como un marco de coordenadas en algún gráfico suave es que son un $\textbf{commuting frame}$ es decir $[X_i,X_j] = 0$ para todos $i$ y $j$ . Este teorema se demostró en la obra de John Lee $\textit{Introduction to Smooth Manifolds }$ libro en el Teorema 18.6 aquí .
Así que no todo el marco local es expresable como marco de coordenadas. Sólo los que se conmutan.
